数学の∑

質問

k＝１からnまでの∑で

∑（１/k^2+2k）＝n（□n+□）/４（n+１）（n+２）

□に当てはまる数字を入れます。

いろいろ試行錯誤しましたが答えにたどり着けませんでした(;_;)

詳しく過程を書いてください！
よろしくお願いします！

ちなみに正しい答えは

最初の□＝３
次の□＝５

のようです。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

1/(k^2+2k)=1/(k(k+2))
=(1/k-1/(k+2))/2
と部分分数に変形して、

ｋ＝１のとき　（１－１／３）／２
ｋ＝２のとき　（１／２－１／４）／２
ｋ＝３のとき　（１／３－１／５）／２
　これをｋ＝ｎまで続けると
ｋ＝ｎ－１のとき　（１／（ｎ－１）－１／（ｎ＋１））／２

ｋ＝ｎのとき　　　（１／ｎー１／（ｎ＋２））／２

これらをすべて足し合わせると
（１＋１／２－１／（ｎ＋１）－１／（ｎ＋２））／２
　＝（２（ｎ＋１）（ｎ＋２）＋（ｎ＋１）（ｎ＋２）ー２（ｎ＋２）－２（ｎ＋１））／（４（ｎ＋１）（ｎ＋２））

分子＝３（ｎ＋１）（ｎ＋２）－４ｎ－６
　　　＝３ｎ＾２＋５ｎ
　　　＝ｎ（３ｎ＋５）

お礼

部分分数分解ですか！なるほど！

回答ありがとうございます！

回答No.2

spring135

S=∑(k=1,n)[1/(k^2+2k)]=∑(k=1,n)[1/k-1/(k+2)]/2 (1)

[ ]の中は

1/1-1/3
1/2-1/4
1/3-1/5
1/4-1/6
.....
1/(n-1)-1/(n+1)
1/n-1/(n+2)

を足していくとほとんどは打ち消しあって残るのは

1/1+1/2-1/(n+1)-1/(n+2)=3/2-[1/(n+1)+1/(n+2)]=(3n^2+5n)/[2(n+1)(n+2)]

(1)より

S=(3n^2+5n)/[4(n+1)(n+2)]

お礼

途中の細かい計算まで丁寧に書いてあってわかりやすかったです！

回答ありがとうございました！