剰余集合について
R を実数体, t を 0 に等しくない実数とします。
このとき、多項式環 R[x, y] から3つのイデアル,
A = (x^2, y^2), B = (x, y), C = (x + ty), を選びます。
剰余環 R[x, y]／A を考えるとき, A ⊆ B なので B／A は R[x, y]／A のイデアルになります。
それに対して, A ⊆ C は成り立たないため、これまで C／A というものを考えたことがありませんでした。
そこで質問なのですが, C／A を集合と見なすことは可能なのでしょうか。
無理矢理 C／A を集合と考えて調べてみると、次の 1 と 2 が成り立つことがわかりました。
1. C／A は R[x, y]／A のイデアルにならない
2. C／A は R[x, y]／A の部分集合にすらならない
しかし、それだけではどうもすっきりしません。
今回の C／A のように, A ⊆ C が成り立たない場合でも, C／A を剰余集合と呼ぶのでしょうか。
f, g ∈ C に対して, f ～ g を f - g ∈ A と定義すれば、関係 ～ が同値関係になるのは理解できます。
しかし, 4Z／6Z などと同じく数学専門書で見た記憶がないため, C／A という表記そのものに対する違和感が消えません。
考えすぎなのかもしれませんが、どうしても気になるのでアドバイスをお願いできませんでしょうか。
集合論や抽象代数学の専門書で調べてみたのですが、疑問は解決しませんでした。
