漸化式について

質問

お世話になります。
問題が、
先頭車両から順に1からnまでの番号のついたn両編成の列車がある。ただしnは2以上とする。各車両を赤色、青色、黄色、いづれか一色で塗るとき隣あった車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。

という数列の問題なのですが、解答がｎ両編成の列車の色の塗り方をAnとするn=2の時先頭車両が赤、青、黄の場合を考えてA2=3＋1＋1＝5　n＝3の時先頭車両が赤の時2両目は赤、青、黄のいづれでも良いので色の塗り方はA2＝5通りある。先頭車両が青または黄の時はそれぞれ3通りなのでA3＝11通り nが4以上の時先頭車両が赤の時A(n-1)通りあり先頭車両が青または黄色の時はA（n-2）通りあるのでAn＝A（n-1）+2A（n-2）となっているのですが、どうしてAn＝A（n-1）+2A（n-2）になるのかわかりません。n=3の場合までは理解出来るのですが、nが4以上の場合になると理解出来ないです。宜しくお願い致します。

回答No.3

shuu_01 · ベストアンサー

僕にはすごい難しかったですが、質問者さんの A2、A3 の説明、
No.1 さんの回答を読んで 「なるほど！」 とわかりました

n ＝ 2 の場合
　先頭車両が赤の時　２両目はなんでもよいので　３通り
　　　々　青　 ２両目は赤なので　１通り
　　　々　黄　　　　　　々　　　　　　１通り
　合計　３＋１＋１＝ ５通り

n ＝ 3 の場合
　先頭車両が赤の時　２両目はなんでも良いので　A2 ＝ ５通り
　　　々　青　 ２両目は赤、３両目はなんでも良いので　３通り
　　　々　黄　 ２両目は赤、３両目はなんでも良いので　３通り
　合計　５＋３＋３＝１１通り

n ＞　４の場合
　先頭車両が赤の時　２両目はめんでも良く、
　　　　　　　　 　　　　　残りは （n-1） 両あるので　A（n-1）通り
　　　々　青　 ２両目は赤、３両目はなんでも良く、
　　　　　　　　　　　　　 残りは （n-2) 両あるので　A（n-2）通り
　　　々　黄　 ２両目は赤、３両目はなんでも良く、
　　　　　　　　　　　　　 残りは （n-2) 両あるので　A（n-2）通り
　合計　A（n-1）+2 A（n-2）通り

お礼

前回に引き続き、ご回答していただいてどうもありがとうございます(^^) 私はTacosanに解答のヒントをもらっても分からなかったですがshuu_01さんの解説をみてよく分かりました。どうもありがとうございました(^^)/

回答No.2

Tacosan

てきとうな n で実際に絵をかいてみてください.

お礼

再びご回答どうもありがとうございます。解答には図付きで解説されているのですが、数学が苦手なのもあり分かりませんでしたけれどshuu_01さんの回答をみて理解出来ました（^^;）どうもありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

どこが理解できないのでしょうか?
・「先頭車両が赤の時A(n-1)通り」は OK?
・「先頭車両が青または黄色の時はA（n-2）通り」はどう?

補足

ご回答どもありがとうございます。両方ともがなぜそうなるのかがよく分かりません（^^;）宜しくお願い致します。