中学確率問題

質問

AからＩまでを1文字づつ書いた9枚のカードをまぜて1枚のカードを取り出し、文字を調べてもとに戻し、もう一度カードを1枚引き、その2つの文字を線で結ぶ問題です。同じ文字を2度選んだ時はその線の長さは0とします。（1）結んだ線分の長さが0になる確率を求めなさい。という問題です。
カードを戻すので分母は９ｘ９の８１、分子は9通りで81分の９で約分して9分の１？
それとも、ＡＢとＢＡは同じ線分のため重複をのぞくと全部で45通りになるので、答は45分の９で約分して５分の１となりますか？

回答No.2

tattutattu · ベストアンサー

９分の1が正しいです。

A～Iまでの各点において、一回目にどこかひとつの点を選び出す確率は1/9です。
また、2回目も同じ点を選ぶ確率も1/9で、かけて1/81となります。
さらに、それがA～Iまでで9通りあるので、1/81　*　9　で1/9です。
ちなみに、このように考える場合、点Aならば、A1、A2と考えます。
さらに言うならば、A1はA2よりも必ず先に起こることが前提になっています。（←重要！）
よって、ABとBAは全くの別物です。

重複についてですが、重複とみなす場合とは、順序を考えない場合となりますので、
ABとBAが重複であるのと同様に、AAとAAも重複になってしまいます。
（BをAにすり替えてみて考えるとよい）
このように考えた場合、A2→A1と起こり得ることになってしまい、本問には適さないでしょう。
問題文にも書いてあるように、「その2つの文字」とあり、それぞれが別物扱いになっているので、
重複はあり得ないということになります。
あと、「同じ文字」とありますが、別物扱いとなっている事を考えて、○1、○2としたときに、
○の部分が被るのを考えればよいです。

まとめますが、45通りになるのは、2枚を同時に一つのカードのケースから取り出したときだけで、
そのような場合、線分の長さが0になるのは、本問では存在しません。
なかなか、私にとっても、考えさせられる問題でした・・。

お礼

子供が良くわかる説明だと感謝してます。ありがとうございました。自分の回答が間違っていることがわかりショックのようですが、次回に生かします。

回答No.3

ORUKA1951

この問題は、「0になる確率」ということなら、極めて単純な問題に帰結します。
要は２回目が１回目と同じ数を引く確率ということになります。
２回目がどのカードになるかは、純粋に1/9の確率ですね。一回目はどれかを引くことですから確率は1(100%)です。
１回目と２回目は独立した事象ですから

１回目にＡを引く確率(1/9)
　　　　---- 二回目にAを引く確率(1/9)　　これが長さ0
　　　　---- 二回目にBを引く確率(1/9)
　　　　　　・・・・・・・・・・
　　　　---- 二回目にIを引く確率(1/9)
１回目にＢを引く確率(1/9)
１回目にＡを引く確率(1/9)
　　　　---- 二回目にAを引く確率(1/9)
　　　　---- 二回目にBを引く確率(1/9)　　これが長さ0
　　　　　　・・・・・・・・・・
　　　　---- 二回目にIを引く確率(1/9)
・・・・・・
１回目にＩを引く確率(1/9)
　　　　---- 二回目にAを引く確率(1/9)
　　　　---- 二回目にBを引く確率(1/9)
　　　　　　・・・・・・・・・・
　　　　---- 二回目にIを引く確率(1/9)　　これが長さ0

一回目にどれかの数字を引く確率は１ですから１×1/9 = 1/9
　あるいは、
　(1/9)×(1/9) + (1/9)×(1/9)・・・ + (1/9)×(1/9)= {1/9×1/9}×9 = 1
　 A→Aの確率　　B→Bの確率　　　　　　　I→Iの確率

です。

　難しく考えたらダメです。ふたつの確率が独立しているか、追随するのか。独立していればふたつの確率を掛け合わせる。

＞カードを戻すので分母は９ｘ９の８１、分子は9通りで81分の９で約分して9分の１？
　ではなくて、1/9 × 1/9 です。それが９個ですから、1/9×1/9×9
＞ＡＢとＢＡは同じ線分のため重複をのぞくと全部で45通りになるので、
　重複は起きていませんよ。上記の枝図参照

お礼

丁寧な説明有難うございます。子供が家庭教師になって程だと申してます。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

いろいろ考え方はありますが、

例えば

2回目にカードを引く場合、1回目のどのカードを引いたかは関係なく、
2回目のカードが1回目のカードが一致する確率は 1/9 ですよね。

引いた順番を区別する場合分けで考えるのが最もポピュラーな解き方で

9 ÷ 9^2 = 1/9

順番を考慮しない場合分けでは、各場合が「同様に確からしい」ことを
確認しないと、場合の数を数えただけでは解けません。

順番を考慮する場合分けでは「同様に確からしい」ことが明瞭です。
以下のように考えます。

1) 施行を81万回くらい行ったと考えてください。記録を全部取ります。
2) 一回目にAで出た試行を数えてみましょう。9万回くらいあるはずです。
3) 一回目にAで出た試行の記録の中から2回目にBが出た試行を数えれば
一回目にAで出たということが2回目に影響を与えるはずがありませんから
1万回くらいになるはずです。

このように考えると、順番を考慮する場合分けでは、すべての場合が 1万回くらい起きることが
わかります。しかし AB と BA を区別しないとすると、これらは2万回になるはずです。
AB と BA はそれぞれ1万回起きるので当然ですよね。

AA や BB は、上の数え方では 1万回くらいになるのは明瞭だと思います。
起こりやすさは AB/BA の半分ということになります。
つまり各場合(事象)がどうように確からしくないので、順番を無視する場合分けでは
場合の数の割り算では確率が求められないということになります。

お礼

丁寧な説明有難うございました。