写像、群、置換のあたりの定理（和訳してください！）

質問

写像について英語の文献を読まなくてはならないのですが、英語がかなり不得意なので難航しています。
そこで次の定理の部分を和訳してくれませんか？！

【Proposition】
The set of permutations Perm(S) is a group, the law of composition being composition of mappings.

完璧な和訳ではなく、こんなことを言っている程度で良いです。この次に証明が続いているのですが、定理をいまいち把握しきれないので、証明の文も？？になってしまうんです。

どうかよろしくお願いします！

回答No.2

grothendieck · ベストアンサー

群の公理はご存じと思いますが、もう一度書いておくと、
　集合Gに属する二つの要素a, bの対(a,b)に対してaとbの合成または積と呼ばれるa・b∈Gを対応させる規則が定められていて、
　a・(b・c) = (a・b)・c
　a・e = e・a = a　となるe∈Gが存在
　a・a^-1 = a^-1・a = e　となるa^-1∈Gが存在
を満たしていることです。
命題は置換f, g に対して
　f・g (x) = f(g(x))
と定めるとPerm(S)が群になると言うことです。
h(g(f(x)))=f(h(g(x)))は一般には成立しません。

お礼

分かってきました！
おかげでその後の証明も、結合法則が成立してて、逆元と単位元が存在していることを一つ一つ確かめている文章として理解することができました。
本当にありがとうございます。

回答No.1

grothendieck

英文の意味は
「置換の集合Perm(S)は要素の合成の規則を写像の合成としたとき、群になっている。」ということですが、ここで質問するより英文をたくさん読んで慣れることをお勧めします。

補足

ありがとうございます。
う～ん、分かったような分からないような気分です（汗）

＞要素の合成の規則
と言うのは結合法則と捕らえてよいのでしょうか？すると、
＞写像の合成としたとき
と言うのは、合成写像ですか？
あ、ひょっとして、f,g,hを置換としたとき、h(g(f(x)))=f(h(g(x)))ってことですか？！

英語の前に数学の知識も薄いので、あっているのか不安になってしまいます。数学的側面からも分かったら教えてください。
よろしくお願いします。