行列の階数を求める。

質問

2　－１　ｂ
a 2 -2
4 -2 c

と
a b b
b　a b
b b a

回答No.1

muturajcp

1)
A=
(2,-1,b)
(a,2,-2)
(4,-2,c)
rankA=(Aの階数)
とすると
a≠-4&c≠2bのときAの3次小行列式
|A|=(a+4)(c-2b)≠0
だから
a≠-4&c≠2bのときrankA=3

c=2bのときAの3次小行列式|A|=(a+4)(c-2b)=0
a≠-4のときAの2次小行列式
|2,-1|=4+a≠0
|a, 2|
だから
a≠-4&c=2bのときrankA=2

a=-4のときAの3次小行列式|A|=(a+4)(c-2b)=0
b≠1のときAの2次小行列式
|-1,b|=2(1-b)≠0
|2,-2|
だから
a=-4&b≠1のときrankA=2

c≠2のときAの2次小行列式
|2,-2|=2(c-2)≠0
|-2,c|
だから
a=-4&c≠2のときrankA=2

a=-4&b=1&c=2のときAのすべての2次小行列式
|a,-2|=ac+8=0
|4, c|
|a, 2|=-2(a+4)=0
|4,-2|
|-1,b|=-c+2b=0
|-2,c|
|2,b|=2(c-2b)=0
|4,c|
|2,-1|=0
|4,-2|
|2, b|=-4-ab=0
|a,-2|
だから
a=-4&b=1&c=2のときrankA=1

2)
B=
(a,b,b)
(b,a,b)
(b,b,a)
rankB=(Bの階数)
とすると
a≠b&a≠-2bのときBの3次小行列式
|B|=(a+2b)(a-b)^2≠0
だから
a≠b&a≠-2bのときrankB=3

a=-2bのときBの3次小行列式|B|=(a+2b)(a-b)^2=0
a=-2b≠0のときBの2次小行列式
|a,b|=a^2-b^2=3b^2≠0
|b,a|
だから
a=-2b≠0のときrankB=2

a=b≠0のときBのすべての2次小行列式
|a,b|=0
|b,a|
|b,b|=0
|b,a|
|b,a|=0
|b,b|
|a,b|=0
|b,b|
|b,b|=0
|a,b|
だから
a=b≠0のときrankB=1

a=b=0のとき
B=0だから
a=b=0のときrankB=0

補足

ありがとう、でも。この方法はわからない。小行列式を使え方はどう？