行列式の符号が違う

質問

次の行列式を計算せよ。
|a a^2 b+c|
|b b^2 c+a|
|c c^2 a+b|

…という問題を自分で解いてみました。

第3列 = 第3列+第1列

|a a^2 a+b+c|
|b b^2 a+b+c|
|c c^2 a+b+c|

(a+b+c)を括り出す

(a+b+c)*
|a a^2 1|
|b b^2 1|
|c c^2 1|

第1列と第2列を入れ替える（それに付随して-1が付く）

(-1)*(a+b+c)*
|a^2 a 1|
|b^2 b 1|
|c^2 c 1|

=(-1)*(a+b+c)*Π_[1≦i<j≦3]

=(-1)*(a+b+c)*(c-b)(c-a)(b-a)

=(-1)*(a+b+c)*(a-b)(b-c)(c-a)

…という結果になったのですが、本の答えを見ると
(a+b+c)*(a-b)(b-c)(c-a)
のように負符号が付いてないんです。
関数電卓でも確認しましたが、やはり負符号が付いていません。
どうか、どこで間違えたのか指摘してください。
お願いします。

回答No.5

Trick--o-- · ベストアンサー

OK、理解した。

|a^2 a 1|
|b^2 b 1|
|c^2 c 1|
これをヴァンデルモンドの行列式だと思い込んでいることが間違い。

ヴァンデルモンドの行列式は
|1　　　　1 　　　1　 |
|x[1]　　x[2] 　x[3]　|
|x[1]^2　x[2]^2 x[3]^2|
なので、
x[1] x[2] x[3]をa,b,cとすれば
|1 1 1|
|a b c|
|a^2 b^2 c^2|
これを転置（行列式の値は変わらない）すると
|1 a a^2|
|1 b b^2|
|1 c c^2|
となるので

C1とC3を入れ替えて
-1*
|a^2 a 1|
|b^2 b 1|
|c^2 c 1|

だ。

お礼

なるほど！
では、その過程を逆から辿って
|a a~2 1|
|b b~2 1|
|c c~2 1|
を二度並べ替えて
(-1)*(-1)*
|1 a a^2|
|1 b b^2|
|1 c c^2|
にし、転置して
|1 1 1|
|a b c|
|a^2 b^2 c^2|
となり、これにヴァンデルモンド(=ファンデアモンデ)を適用すると
(c-b)(c-a)(b-a)
並べ替えて符号を揃えますと
(-1)*(b-a)*(-1)*(c-b)*(c-a)
=(a-b)(b-c)(c-a)
…と、負符号が付かずに答えが出ました！
余因子展開などで行に関する展開は列に関する展開にそのまま適用できたので
ついついファンデアモンデも転置せずに適用できるものだと思っていました。
これで間違えることはなくなるでしょう。
ありがとうございました！

回答No.4

Trick--o--

行列式の基本公式だけで解いてみました。
|X 0 0|
|Y 1 0|
|Z 0 1|
の形にすれば、＝X　になります。

　|a　a^2　b+c|
　|b　b^2　c+a|
　|c　c^2　a+b|

=
　|a　a^2　1|
　|b　b^2　1|*(a+b+c)
　|c　c^2　1|

　※ -R3+R1 , -R3+R2

=
　|a-c　a^2-c^2　0|
　|b-c　b^2-c^2　0|*(a+b+c)
　|c　　c^2　　　1|

　※ R2/(b^2-c^2) , R1/(a^2-c^2)　　　　　

=
|(a-c)/(a^2-c^2)　1　　0|　　
|(b-c)/(b^2-c^2)　1　　0|*(a+b+c)(b^2-c^2)(a^2-c^2)　　
|c　　　　　　　　c^2　1|　　

　※ (b^2-c^2)=(b+c)(b-c) , (a^2-c^2)=(a+c)(a-c)　　　　　

=
|1/(a+c)　1　　0|　　
|1/(b+c)　1　　0|*(a+b+c)(b+c)(b-c)(a+c)(a-c)　　
|c　　　　c^2　1|　　

　※ -c^2*R2+R3 , -R2+R1　　　　　

=
|1/(a+c)-1/(b+c)　　0　0|　　
|1/(b+c)　　　　　　1　0|*(a+b+c)(b+c)(b-c)(a+c)(a-c)　　
|c-c^2/(b+c)　　　　0　1|

　※ C1*(b+c)　　　

=
|(b+c)/(a+c) - 1　0　0|
|1　　　　　　　　1　0|*(a+b+c)(b-c)(a+c)(a-c)
|c(b+c)-c^2　　 　0　1|

　※ R1*(a+c)　　　

=
|(b+c)-(a+c)　　　　 　0　0|
|(a+c)　　　　　　　 　1　0|*(a+b+c)(b-c)(a-c)
|c(b+c)(a+c)-c^2(a+c)　0　1|

=
|(b-a)　　　　　　　 　0　0|
|(a+c)　　　　　　 　　1　0|*(a+b+c)(b-c)(a-c)
|c(b+c)(a+c)-c^2(a+c)　0　1|

=　(b-a)(a+b+c)(b-c)(a-c)　　　
=　(a-b)(a+b+c)(b-c)(c-a)　　　
=　(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)

お礼

ありがとうございます。

今回はなんとかして質問通りのファンデアモンデの行列式を使って解きたいのです。
ファンデアモンデの行列式を使ってすべての過程を書いていただけると大変助かります。
でも、基本公式だけでも意外と速く解けるんですね、もっとややこしくなると思っていました。勉強になりました。

回答No.3

Trick--o--

>>
つまり、ファンデルモンドの行列式の因数分解の展開項は
(c-b)(c-a)(b-a)
ではなく、
(a-b)(a-c)(b-c)
>>

(a-b)(b-c)(c-a)
ではないだろうか。

>>
なぜ(c-b)(c-a)(b-a)ではいけないんでしょうか？
>>
(c-b)(c-a)(b-a)
={-(b-c)}*(c-a)*{-(a-b)}
=-1*-1*(b-c)(c-a)(a-b)
=(b-c)(c-a)(a-b)
=(a-b)(b-c)(c-a)
だから「間違ってはいない」けど、

(c-b)(c-a)(b-a)
と
(a-b)(b-c)(c-a)

を見比べると、後者の方が「美しい」と思わない？

数学では「美しい」は意外と重要よ。

お礼

ありがとうございます。

>(a-b)(b-c)(c-a)
>ではないだろうか。

いえ、ファンデアモンデの行列式に基づくと、まずは
(c-b)(c-a)
(b-a)
となるはずです。

>なぜ(c-b)(c-a)(b-a)ではいけないんでしょうか？
>>>
>(c-b)(c-a)(b-a)
>={-(b-c)}*(c-a)*{-(a-b)}
>=-1*-1*(b-c)(c-a)(a-b)
>=(b-c)(c-a)(a-b)
>=(a-b)(b-c)(c-a)
>だから「間違ってはいない」けど、

…お言葉ですが、それは間違っているのでは…
私が(c-b)(c-a)(b-a)と比較しているのは、お書きになられた
(a-b)「(c-a)」(b-c)ではなく
(a-b)「(a-c)」(b-c)です。
(a-c)であれば、(-1)を掛けて(c-a)にしなければなりません。
ここが正に符号が正か負かが決まる重要な点です。

私もまだよく分かってないので、間違っているところがあれば、ご指摘下さい。

回答No.2

Tacosan

おっと, a^b は a^2b の間違いです. つまり, 差積を展開したときに a^2b が (符号も含めてこのまま) 現れなければなりません.
あなたの結果では差積の部分を展開すると -a^2b になりますが, もとの行列式ではこの項は a^2b として現れなければならないため, 符号を調節する必要があります.
ちなみにその行列式の値も符号が間違っていたりします. 確認してみてください.

お礼

ありがとうございます。
未だに解けないでおります。
最終的にはファンデアモンデを使って解きたいです。
(a+b+c)はひとまず置いておきまして

|a a^2 1|
|b b^2 1|
|c c^2 1|

から始めましょう。
まず、元の質問通り、「大きい順」に並べ替えたとしますと

(-1)*
|a^2 a 1|
|b^2 b 1|
|c^2 c 1|

これをサラスの公式を使って解いてみます:

= (-1)*
ba^2 + cb^2 + ac^2
- bc^2 - ca^2 - ab^2

仰る通り、ba^2の項が出てきましたね。
しかし、一度の並べ替えが生じたので全体に(-1)を掛けないといけません。
つまり、ba^2の項は「-ba^2」になってしまいます。

今度は、「小さい順」に並べ替えたとしますと

(-1)*(-1)*
|1 a a^2|
|1 b b^2|
|1 c c^2|

これをサラスの公式を使って解いてみます:

= (-1)*(-1)*
bc^2 + ca^2 + ab^2
- ba^2 - cb^2 - ac^2

これまた仰る通り、-ba^2の項が出てきましたね。
そして、ニ度の並べ替えが生じて全体に(-1)*(-1)を掛けるので符号は変わりません。
つまり、ba^2の項はそのまま「-ba^2」です。

…よって、どちらの場合も「ba^2」の項は「-ba^2」で「負」になってしまい…ますよね？？？ ←自信なし

上の行列式でファンデアモンデを使えば(-1)*(c-a)(c-b)(b-a)になり、
本の答えに沿うように並べ替えると
(-1)*{(-1)*(a-b)}(c-a){(-1)*(b-c)}
=(-1)*(a-b)(c-a)(b-c)になります。

下の行列式でファンデアモンデを使えば(-1)*(-1)*(a-b)(a-c)(b-c)になり、
本の答えに沿うように並べ替えると
(-1)*(a-b){(-1)*(c-a)}(b-c)
=(-1)*(a-b)(c-a)(b-c)になります。

どんな手を使っても負符号が付いてしまうのですが…。
お互いに忙しいでしょうから、どうかズバリの回答をください。m(__)m

回答No.1

Tacosan

ファンデルモンドの行列式の因数分解を適用するところ, つまり最後から 3つ目の等号が間違っています. この場合, 展開項は a^b を含まなければなりません.

お礼

早速の回答、ありがとうございます。
a^b は a-b の打ち間違えですよね？
つまり、ファンデルモンドの行列式の因数分解の展開項は
(c-b)(c-a)(b-a)
ではなく、
(a-b)(a-c)(b-c)
ということですね。
そして、(a-c)を(c-a)にするときに-1を掛けるので
(-1)*(a+b+c)の(-1)と相殺されて符号が正になる、ということですね。

ただ、なぜ(c-b)(c-a)(b-a)ではいけないんでしょうか？
この問題ではa, b, cの大きさは指定されていません。
しかも
|2^2 2 1|
|3^2 3 1|
|5^2 5 1|
のような場合だと、
(5-3)(5-2)(3-2)
のように計算するはずです。
どちらから計算しても同じ結果になると思っていたのですが…。
（今回は急いでいないので）どうか教えてください。