複素積分についての質問です！

質問

フレネル積分などでよく目にする不等式なのですが、理由がわかりません。
わかる方よろしくお願いします。

フレネル積分では、
|∮(θ:0→π/4)exp(-R^2sin2θ+i(R^2cos2θ+θ)dθ|
≦
R∮θ:0→π/4)exp(-R^2sin2θ)dθ

積分の絶対値≦exp内部の虚部を消した積分
になる理由がわかりません。

よろしくお願いいたします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

x, yがθの実関数であって、積分範囲内には特異点がない（有界）としましょう。実数a,bについて
　　|a+ib|^2 = (a+ib)(a-ib)
であることと、オイラーの公式を思い出せば、
　　|∫exp(x(θ)+iy(θ))dθ|^2
　　= (∫exp(x(θ)+iy(θ))dθ)(∫exp(x(φ)-iy(φ))dφ)
　　= ∫∫exp(x(θ)+x(φ)+i(y(θ)-y(φ)))dφdθ
これを実部と虚部に分解すれば
　　|∫exp(x(θ)+iy(θ))dθ|^2 = ∫∫exp(x(θ)+x(φ))cos(y(θ)-y(φ))dφdθ + i ∫∫exp(x(θ)+x(φ))sin(y(θ)-y(φ))dφdθ
ですが、左辺が実数なんだから右辺の虚部は0。従って、
　　|∫exp(x(θ)+iy(θ))dθ|^2 = ∫∫exp(x(θ)+x(φ))cos(y(θ)-y(φ))dφdθ
です。
　　cos(y(θ)-y(φ)) ≦ 1
だから、
　　 ∫∫exp(x(θ)+x(φ))cos(y(θ)-y(φ))dφdθ ≦ ∫∫exp(x(θ)+x(φ))dφdθ = |∫exp(x(θ))dθ|^2
また、exp(実数)＞0 なので
　　 |∫exp(x(θ))dθ|^2 = (∫exp(x(θ))dθ)^2
でいかがでしょう。

お礼

本当に詳しくありがとうございます！
とても勉強になりました。
学校の友達に聞いてもわからないので困っていました、ありがとうございます！

回答No.2

uyama33

積分はΣの極限なので、複素数に関する三角不等式が使えるので

|∮(θ:0→π/4)exp(-R^2sin2θ+i(R^2cos2θ+θ)dθ|
≦
∮(θ:0→π/4)|exp(-R^2sin2θ+i(R^2cos2θ+θ)|dθ
=
∮(θ:0→π/4)|exp(-R^2sin2θ)|*|expi(R^2cos2θ+θ)|dθ
=
∮(θ:0→π/4)|exp(-R^2sin2θ)|dθ
=
∮(θ:0→π/4)exp(-R^2sin2θ)dθ

なぜなら、
|expi(R^2cos2θ+θ)|=1

|exp(iφ)|=1 (φが実数のとき)
ですよね。

お礼

なるほど納得です！
そこは盲点でした(>_<)
本当に詳しくありがとうございました！