０の符号

質問

実数には、符号が定義されています。
１、２、３、…　には「プラス」。
－１、－２、－３、…　には「マイナス」。
０　はどちらでもない。

符号関数で表すと、
１、２、３、…　は「１」、
－１、－２、－３、…　は「－１」、
０　は「０」、
となります。

定義だから、疑問を持つのに意味はないんですが、
０の符号がこうなるのは何故でしょうか？

回答No.6

noname#221368 · ベストアンサー

ええとですね、自然数以降の数体系の理論（整数，有理数，実数，複素数）の中では、0は正かつ負の数と定義するのが、最も合理的です。方程式、n＝－nが、n＝0を導くからです。群の言葉で言うと、それ自身がその対称元と一致するのは、中心元（単位元）という事になります。

　0が正でも負でもないという捉え方は、昔は0が特別な数と思われていたからです。なので今でも、0を自然数に含めるかどうかには議論がありますが、0の定義は、非負または非正に対しては、上記のような三分法に基づいた非負や非正の慣習的な用法に一致します。

　0＝＋0＝－0なので、非負といった場合は、正かつ負である0は「－0」が条件に一致しないので、非負には入りません（±のの両方は成り立たないから駄目よ、という論理です(^^)）。非正でも同様。

　ですが、まぁ～これは、数体系による理論化が、慣習的な用法に偶然一致したとみるべきでしょう。そして「非負または非正」ではなく、「非負かつ非正」な数は、現在の理論化された数体系にはない訳です。0は「正かつ負」の数ですから。

　この辺りが、三分法とは違います。三分法では、「非負かつ非正」な数こそが0です。

　さらに「正の数」と言われた時に0を含めたら、「馬鹿かお前はっ！」って言われますよね？(^^；)。これを数体系よりで考えると、「正の数」とは「正という性質だけが成り立つ」という条件の、「省略記法」と考えるべきだ、という事になります。

　やはり伝統的な三分法と理論化された数体系には、差はありますよ。

お礼

質問文には０の符号について、「正」や「負」のどちらでもないと書いただけですから、
０が「非負かつ非正」だろうと「正かつ負」だろうと、（偶然ですが）どちらでもないという点では正しいようです。
集合論的には、「非負かつ非正」と「正かつ負」の２つの集合は別のものを指しますが、
符号という概念を、数がどんな集合に属するかを表すこととすれば、
０を「正」とするのも「負」とするのも正しくないという点では一致します。

ところで、勝手な解釈かもしれませんが、
> 方程式、n＝－nが、n＝0を導くからです。
は、符号の重要な性質を表していますね。
これは、符号というものが、関数で表すなら
sgn(-x) = -sgn(x)
という性質を持つということ。
これに合意できるのなら、
sgn(0) = 0
という結果が導かれます。

私としては、この性質が、符号を定義するための前提なのか、符号という定義から導かれる定理なのか、判断は付きませんが。

回答ありがとうございました。

回答No.8

ask-it-aurora

<回答No.7お礼

少しだけ補足を．言葉遣いが紛らわしいので回答No.7で僕が定義した（弱）符号を「乗法的（弱）符号」，そのお礼であなたの定義した（弱）符号を「加法的（弱）符号」とでも呼んでおきましょう．

細かいミスを指摘すると加法的弱符号の定義からプラスとマイナスは交わりが無いので0がプラスの元かつマイナスの元ということは起こりえません．なので（非負の実数，負の実数）の組，あるいは（正の実数，非正の実数）の組が加法的符号になります．実はあなたの提案した符号の定義（とほとんど同じもの）の方を最初に思いついたのですが，上のような特徴があって０の特殊性がきれいには出てこないのと加法，乗法単位元の両方がないと定義できないので，少しだけ一般的でなくなる気がしたので結局，乗法的符号を採用しました．好みの問題でしょうが，他の人も思いつくということはそちらも有力な定義だったのかもしれません．

コメントにあったように乗法的符号が（正の実数，負の実数）の組（以下，これを「通常の符号」と呼ぶ）しかないと話がかんたんでいいのですが，そうはいきません（なので定義は最大限ではなく極大元としました）．少なくとも「自明な符号」(R, ∅)があります．したがって問うべき問題は次のようになります．

【問題1】非自明な符号は通常の符号以外に存在するか？

おそらく答えは「存在する」です．Xを整数のうち3で割った余りが1のもの，Yを整数のうち3で割った余りが2のものとすれば，(X, Y)は乗法的弱符号になります．ここで（おそらく）Zornの補題を使えば(X, Y)を含む乗法的符号(X*, Y*)が存在することがいえると思います（が，単調で長い証明になりそうなので実際にはやっていません．あまり信用せずに確かめてみてください）．なので次に問うべき問題はこうなります．

【問題2】非自明な符号の中で通常の符号を特徴づける性質は何か？

こちらは候補となる性質もサッパリ思いつかないので難しすぎる問いのような気がします．仮にこの問題に取り組むならばZ/nZのような有限環でいくらか実験してから挑戦してみることをオススメします（Zornの補題を使うような"病的な"符号が避けられるので）．

もとの素朴な疑問からはだいぶ遠いところに来てしまった感がありますが，もし問題2に答えがつけられればさらに深い理解が得られそうなので，部分的に解決するくらいを目指すのはアリかもしれません．

お礼

> 細かいミスを指摘すると

やはり、モノマネでは駄目ですね。
でも、もう少し工夫してみます。

【定義】Rを実数全体からなる集合とする．このとき，Rの空でない交わりのない部分集合の組S = (T1, T2, ...)で以下の性質を満たすものを「弱符号」と呼ぶ．
(i) 任意のx, y ∈ Tnに対してx+y ∈ Tn.
つまり、Tnとは加算について閉じた集合とする．各部分集合Tnをその代表元（あるいはそれに変わる言葉）で表す．
さらに，ふたつの弱符号S1 = (T11, T12, ...), S2 = (T21, T22, ...)があったとき半順序S1 ≦ S2をT1n ⊂ T2nで定義する．弱符号たちの中で集合の数が最大かつこの順序に関する最大元のことを「符号」という．

【証明】(i)により２つの実数にx = kyの関係がある時、xとyは異なる「符号」とはならない。ただし、kは正の整数とする。
１は「プラス（＝１）」に属しているとする。定義により、すべての正の整数は「プラス」である。
同様にして、すべての正の有理数は「プラス」であり、その和である正の実数も「プラス」である。

# ”符号らしさ”が表現出来てるかは自信ないです。
# 証明も少しいい加減です。

> 【問題1】非自明な符号は通常の符号以外に存在するか？

何となく感じていた問題点は存在するようですね。

> Xを整数のうち3で割った余りが1のもの，Yを整数のうち3で割った余りが2のものとすれば，(X, Y)は乗法的弱符号になります．

Yに２の立方根を加えた場合、Xには２の３分の偶数乗、Yには２の３分の奇数乗に整数を掛けたものを元に加える必要がありそうですが、XとYに交わりはなさそうです。
これは半順序の条件を満たしており、同じ操作は無限に続けられそうなので、この場合の極大元はない気がします。

> 【問題2】非自明な符号の中で通常の符号を特徴づける性質は何か？

連続性（あるいは距離）のような条件が関係する気もしますが、良く分からないです。

回答ありがとうございました。

回答No.7

ask-it-aurora

「0の符号だけが特別扱いなのは何故なのか？」ということですね．

今まで特別に注意を向けたことが無かったのですが，これを機にちょっとだけ考えてみました．数学的にきちんと考えるために符号とは何なのかをまず定義してみましょう．

【定義】Rを実数全体からなる集合とする．このとき，Rの交わりのない部分集合の組S = (P, M)で以下の性質を満たすものを「弱符号」と呼ぶ．
(i) 任意のx, y ∈ Pに対してxy ∈ P,
(ii) 任意のx, y ∈ Mに対してxy ∈ P,
(iii) 任意のx ∈ P, y ∈ Mに対してxy ∈ M.
またS = (P, M)が弱符号のときPのことを「プラス」，Mのことを「マイナス」と呼ぶ．
さらに，ふたつの弱符号S1 = (P1, M1), S2 = (P2, M2)があったとき半順序S1 ≦ S2をP1 ⊂ P2かつM1 ⊂ M2で定義する．弱符号たちの中でこの順序に関する極大元のことを「符号」という．

上の定義は正確な議論をするために，いま勝手につくったものなので標準的なもの（？）ではまったくありません．しかし，定義のなかにある条件は今まで深く考えることなく使っていた"符号"という言葉の"符号らしさ"を表現できているように思います．けれどもこの条件だけでは標準的なものが定まらないので（現代数学でよくやる手ですが）その極大元を考えよう，というわけです．
## しかも上の定義はよく見ればRを半群くらいに一般化しても意味を持ちます．パッと思いつく整数，有理数，置換，空間の等長変換の符号を考えてみても，上の意味で符号になっています．

こうするとPを"正の実数全体"，Mを"負の実数全体"とすれば(P, M)は符号になります．もしどちらかに0を加えると条件を満たさなくなってしまうので，その意味で0は"特別"です．

このような議論や定式化で腑に落ちるかどうかは人によると思いますが，個人的にはこのように考えると満足できました．あなたの素朴な疑問を深める／解決する手助けになれば幸いです．

お礼

まさに意図した通りの回答です。
０が特別なことを示すには、”符号”の”符号らしさ”をまず定義しなければなりません。
乗算における性質は、その一つに違いありません。

他にも、”符号”の”符号らしさ”というのは存在し、＃６の回答では「プラス」と「マイナス」を入れ替える写像（反数-xのこと）によって符号が定義され、０が特別な存在であることが示されていると考えています。

また、これを真似て、加算を元に符号を定義するなら、こうなりますかね。

【定義】Rを実数全体からなる集合とする．このとき，Rの交わりのない部分集合の組S = (P, M)で以下の性質を満たすものを「弱符号」と呼ぶ．
(i) 1 ∈ P,
(ii) 任意のx, y ∈ Pに対してx+y ∈ P,
(iii) 任意のx, y ∈ Mに対してx+y ∈ M.
またS = (P, M)が弱符号のときPのことを「プラス」，Mのことを「マイナス」と呼ぶ．
さらに，ふたつの弱符号S1 = (P1, M1), S2 = (P2, M2)があったとき半順序S1 ≦ S2をP1 ⊂ P2かつM1 ⊂ M2で定義する．弱符号たちの中でこの順序に関する極大元のことを「符号」という．

０は、「プラス」と「マイナス」のどちらの条件も満たすという意味で特別ですね。

# ちなみに、上の性質を満たすものが今ある「符号」だけだという証明が必要だと思いますが、
# 私には、思い付けそうもありません。

回答ありがとうございました。

回答No.5

178-tall

>> 哲学的な問いなら

>数学的な問いでないという意味でなら、そうかもしれませんね。

「ニワトリとタマゴ」じゃありませんが、数学の「正」関連の定義は？

　　正 (positive) ： x > 0
　　非正 (non-positive) ： x≦0
「負」関連の定義も同趣。

これを鵜呑みにすると、0 は「正」や「負」の数ではなく、「非正」かつ「非負」の数、ということになるけど…。

ステップ関数や符号関数とは軌を一にしてますが、何やら禅問答じみてます。

お礼

負の数は負号を付けて表すから、「負」であることは納得しやすい。
「正」は負の数に対して、それまでの数を表すとするならば、
０も含まれると考えられる。

一般的には、あるものを分類する時、２つに分割する場合が多くあります。
３つに分割するなら、それには特別な理由が存在すると考えます。

さて、回答では、「正」の定義と「負」の定義が別々に存在し、
それによって３つに分類されるとしています。
でもこの場合、何故「正」と「負」の２つの定義が存在するのか、というのが、
元の疑問に代わる新たな疑問になりますね。

回答ありがとうございました。

回答No.4

noname#190065

付けたければ、付けても差し支えないです。数学は、自由ですから。

お礼

んー、分かるような分からないような…

「０の符号は何だろう？」と聞かれて、「数学は、自由だから」と答えられてもね。

１の符号が「０」で、
－１の符号が「１」で、
０の符号が「－１」で、となっても構わなかった。
何故今のようになってるのか私には分からない、想像もできない。
…ということでしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.3

178-tall

>０の符号がこうなるのは何故でしょうか？

0 (零) の符号の起源の一つらしきものに「ステップ関数」がある。

　　　　↓　参考URL

アルゴリズム化のための「苦肉の策」みたいな解説があります。

「何故でしょうか」が哲学的な問いなら、見当違いなレスですが…。

参考URL：

http://mathworld.wolfram.com/HeavisideStepFunction.html

お礼

参考URLにはヘピサイドのステップ関数が記載されているようですが、
似たような関数が存在するのは、理由の一つにはなりそうですね。

> 哲学的な問いなら

数学的な問いでないという意味でなら、そうかもしれませんね。
でも、単なる素朴な疑問です。
どういう答でも構いません。

回答ありがとうございました。

回答No.2

maiko0318

数学上はおっしゃる通りですが世界が違うと少し変わってきます。

コンピュータでは符号ビットは必ずありますので、「＋０」となります。

あと、「－０」「＋０」というのも存在します。
「－０」は－０．１を四捨五入した値。
「＋０」は＋０．１を四捨五入した値。になります。

気象で風速０メートルなのに風向は北と書いてあるのはそういう理由です。

お礼

コンピュータでは、「＋０」と「－０」がありますよね。

それと、しなくていいツッコミだと思いますが、
風速には「－０」は無いでしょう。
南の風、風速「－０」メートル／秒と言うよりも、
北の風、風速「０」メートル／秒でしょうから。

「－０」を使うとしたら、温度ですね。

回答ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

では, どうすればよいとお考えでしょうか?

ま, 0 を「正」とする状況は存在するんだけど.

お礼

別に、今の定義に不満がある訳ではないです。

「０の符号は何故０なの？」と聞かれた時に、
皆さんは何と答えるかな？と気になっただけで。

回答ありがとうございました。