レイリー分布に従う変数二つの差の分布関数

質問

ガウス分布に従う2変数の和や差ははやりガウス分布になるのはしっているのですが、
レイリー分布の場合はどうなるのでしょう？
導出過程を含めて、お教えください。

回答No.1

ramayana

「ガウス分布に従う2変数の和や差ははやりガウス分布になる」というのは嘘です。この 2 変数が独立のときに、その和や差がガウス分布になるのです。

ご質問のレイリー分布の場合も、2 変数が独立だという条件を置くことにします。具体的には、次の問題を考えることにします。

「 X と Y が独立な確率変数であって、両方ともレイリー分布に従うとき、その差 Z = X-Y の密度はどのように表されるか？」

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一般に、独立な 2 つの確率変数の和の密度は、それぞれの密度の畳み込み（convolution）になる。これを、上の問題に適用する。Z = X + (-Y) であることに留意する。

X、-Y、Z の密度をそれぞれ f(x)、g(y)、h(z) とする。適当な正数α、a、β、b により、

　　f(x) = αxexp(-ax^2)　　（x≧0 のとき）
　　f(x) = 0　　（x<0 のとき）
　　g(y) = -βyexp(-by^2)　　（y≦0 のとき）
　　g(y) = 0　　（y>0 のとき）

と表すことができる。 h(z) をこれら α、a、β、b の式で表せば、上の問題の答えになる。そのためには、f(x) と g(y) の畳み込みを計算すればよい。次のようになる。ただし、z≧0 のとき c(z) = z、z<0 のとき c(z)=0 と置く。

h(z) = ∫[-∞ to ∞]f(x)g(z-x)dx
= ∫[c(z) to ∞]αexp(-ax^2)(-β(z-x)exp(-b(z-x)^2))dx
= αβexp((-ab/(a+b))z^2)∫[c(z) to ∞]x(x-z)exp(-(a+b)(x-b/(a+b))^2)dx

なお、この h(z) は、レイリー分布の密度ではない。すなわち、 X-Y は、レイリー分布に従わない。

お礼

ありがとうございます。
「この 2 変数が独立のときに、その和や差がガウス分布。。。」
正確な条件を明示くださり、大変参考になりました！