分数の割り算について

質問

今更ですが、分数の割り算についての質問です。

分数の割り算って、なぜ割る方を上下反対にしてかけ算するのですか？

計算結果が同じになるのは分かりますが、
小学校時に先生がちゃんと納得行くように教えてくれませんでした。

説明できる方、お願いします。

回答No.5

KEIS050162

小学生の算数の教科書、参考書の相当算などを復習するとより分かるかと思います。

・１０ｍ　の　ロープの　２／５　の長さは？
これを数直線など図を描きながら解いていくとより分かります。全体を５等分して、その２個分がどうなるかを図を見ながら考えます。

全体を１として２／５の長さを求めるので、１０ｍ　×　２／５　＝　４ｍ
図を見れば明らかですが、これは、１０ｍ　を　５で割って、２をかけているのと同じですね。

逆に、
・ある長さのロープの２／５の長さが４ｍ　だったとき、ロープ全体の長さは？

全体を１とした時、４ｍ　に相当するのが２／５で、全体の長さ即ち１に相当する部分を求めるので、

４ｍ　÷　２／５　＝　１０ｍ
先の図を見れば、これは４ｍを２で割って５倍していることが分かります。

即ち、
４ｍ　÷　２／５　＝　４ｍ　×　５／２　＝　１０ｍ
ですね。

この辺りの勉強を経て、以降、「分数の割り算は分母と分子をひっくり返してかける」と、なかば丸暗記に近い状態で覚えこんでしまっているので、なぜそうなるかと言われるとなかなか説明出来ない（＝理解できない）ということになるのかと思います。

ご参考に。

お礼

ご回答頂きました皆様どうもありがとうございました。

整数÷分数ではなく、分数÷分数でご説明いただけないでしょうか。
細かなことですが、ご理解のある方のみで結構です。

分数を分数で割る意味とかもお心当たりがありましたらお願いします。

補足

具体的には、
１／２÷１／３＝３／２などです。

回答No.4

htms42

３/５で考えてみましょう。
１/(３/５)＝５/３
を導きたいのですね。
３/５という分数は３：５という割合を表すと言うこともできますが，５つに分割したものを３つ集めたものだということもできます。これだと量のイメージが含まれています。１個、２個、・・・という数え上げに続くものになります。小学校でまず出てくるのはこちらではないでしょうか．　（少数は分数よりも後にでてくるものですから割り切れるとか割り切れないとかは関係がありません。）

そうであれば、分数の割り算もその延長で、分割と数え上げで説明するほうがいいでしょう。
（小学校での分数の教え方については多分、統一したものがすでに出回っているとは思います。でも私はそれを知りません。見当違いがあるかもしれませんが試みてみます。）

塊が１つあるとします。それを５つに分割します。
　〇〇〇〇〇
全体が１です・・・（これをＡとします）。
〇１つが１/５です・・・（これをＢとします）。５つに分割した中の１つです。この中の３つを塊にしてみたのが３/５です・・・（Ｂが３つです。これをＣとします）。

（１）Ａの中にＢはいくつあるでしょう。・・・５つです。
　　[〇]〇〇〇〇
　　１/(１/５)＝５
　　です。これは簡単です。
（２）Ａの中にＣはいくつあるでしょう。・・・これはむつかしいです。
　　[〇〇〇]〇〇
　　何個というのは整数のイメージです。
　　１つで半端が出ます。

　　この半端を含めて、分数で個数を表すというのは定義が必要なことです。

　　Ｃの塊を３つに分けるとＢになります。
　　ＢはＡの中に５つ含まれています。
　　Ｃの１/３の塊がＡに５つ含まれているという意味で
　　Ａ／Ｃ＝５×(１/３)＝５／３
　　と表すことにします。これで個数を分数で定義することができました。
　　　　１/(３/５)＝５/３

　　（半端をＣの２/３だとして１＋２/３＝５/３　とすることもできますが、
　　　分数で２/３個と個数を表すところではやはり立ち止まることが必要です。
　　　また、同じものが５つ集まっているというイメージが少し弱くなって、
　　　３つと２つという区切りが強く残ります。
　　　でも「１つと半分」というような表現は結構使うようですから
　　　こちらの方が受け入れやすいかもしれません。）

（１）と（２）は演算としては同じだというかもしれませんが個数ということでいうと同じではありません。
小学生が分割とか個数とかで分数のイメージをつかもうとしているのであれば演算の手続きだけで説明しても理解は定着しないと思います。

回答No.3

horitate

分子同士、分母同士の割り算の結果に等しくなるから、(a/b)÷(c/d)=(a÷c)/(b÷d), 分母の(÷d)をなくすために、分母分子にそれぞれdをかけると、(a÷c)×d/(b×1)となり、(a×d)/(b×c)と書き換えることができ、さらに(a/b)×(d/c)となり、ひっくり返したかけ算の形になる。

回答No.2

ORUKA1951

分数は、小学校ではなく中学校でちゃんと習う物です。数学では意味が変わる。!!
数を数直線上に並べると
　　0＿＿1＿＿2＿＿3＿＿・・・・＿10＿・・・＿120＿
でしたよね。
★小学校では、小さい数から大きい数は引けないと習いました。正しいです。
　しかし中学校では[負数/負の数]を学ぶので
　-10＿・・＿-3＿＿-2＿＿-1＿＿0＿＿1＿＿2＿＿3＿＿・・・・＿10＿・・・＿120＿
　となり、「引き算を 負の数を加える」と考えることで
　　1-3の計算は出来ないけど、
　◎(+1) + (-3) = -2 と計算できるし、
　◎ 4-3 ≠ 3 - 4 だったものが、4 + (-3) = (-3) + 4 と計算できる
　ようになましたよね。
★小学校では割り切れない数は、どうしようもなかった・・
　中学校では、分数!!を学びなおします。割り算は[逆数]をかける。とね。
　　2 ÷ 3 = 2/3 ≒ 0.666・・。もちろん 2 ÷ 3 ≠ 3 ÷ 2
　　しかし、割り算は、その逆数（＝掛け合わすと1になる数）をかけること
　　2 ÷ 3 = 2 × (1/3) と言う意味。 3×(1/3) = 1⇒ 1/3 = 1÷3
　　◎ 2 ÷ 3 ≠　3÷2 だけど、2 × (/3) = (1/3) × 2

　このふたつの、大きな数の拡張で算数が数学に変わったはずです。

　よって、
　　2 ÷ (1/3) = 2 × (3/1) ・・・・(1/3)×(3/1) = 1⇒ 1/3 = 1 ÷ (3/1)

　割り算、引き算が消滅することによって、式が自在に変形できるし、【未知数】として扱えるようになりました。いちいちその数が、負なのか正なのか割れるか割れないを考えなくて良くなった。
　y = ax + b　xが負だろうが正だろうが、bが分数だろうが一切考えなくて良くなった。
　y = x÷5 - 3
は、
　y = (1/5)x + (-3)
と書き直せますよね。あとは公式　x = (y - b)/a で解ける。

★小学校時に先生がちゃんと納得行くように教えてくれませんでした。
　ではなく、中学校の最初--未知数が登場する時に数の拡張と共に習うところです。

回答No.1

birth11

次のような計算が途中にあるからです。