数学というより算数の質問です。高齢者に分数を・・・

質問

私の母は８０歳を越えているのですが、分数が苦手で。
戦中、戦後に学生だったそうです。国語はなぜか今でも得意なのですが、算数の授業を覚えていないとのこと。

分数の足し算とかは、説明すると、なんとなくわかるようなのですが。
一番、説明に困っているのが、割り算です。
例えば1/４÷５/3のような計算の時、１./4×3/5のように、分母と分子をひっくり返すというか、変更しますよね。

私は、分数の割り算の時は、こうやって計算するということしか説明できないのですが。

母にしてみれば、どうして？と疑問に思うようです。
でも、私も、そういえば方法し覚えていなくて、・・・と無言になってしまいます。

数学の得意な友達に聞いたのですが、分数は、もともと自然界に存在しないものなので、難しいと言われました。
実生活で、分数に遭遇するとしたら、ケーキを1/4に分けてみたいなことしか無いので、掛け算、割り算を、高齢者にも、わかるように説明するのには、かなりの実力が必要だと思うとも。

母に、暑い時に水分補給は大事なんだよ。
でも、ただ、冷たい水よりは、塩分の入ったドリンクを飲むほうが良いんだよ。
だって、汗ってなめたら、塩からい味がするでしょう？だから、みたいに、かなりかみくだいて説明しないと納得してくれないんです。

幸い、母は認知症にはなっていないのですが、クイズ番組が好きで、分数の簡単な計算がでてくると、いつも私に質問するのです。

すごく、かみくだいた表現で、教えていたけないでしょうか？
よろしく、お願いします。

回答No.5

kabaokaba · ベストアンサー

いわゆる「中学受験塾」の四年生とか三年生くらいのテキストに
この手の話は結構出てるんじゃないかと思いますよ

＃四○大塚（一応伏字(^^;）のテキストに
＃ケーキの分割とかの話ででてたような記憶があり

あんまり難しく（数学的厳密性を考慮して）
考える必要はないんじゃないですかねえ
そもそも「数学的厳密性」をとことん追求したら
とんでもないことになります
＃分数ってそれなりに面倒な数学的対象ですんで
＃環論で乗法的集合とか分数環とか・・・

たとえば・・・
割り算「A÷B」ってのは
「AをB個に分けると，分けたあとの一個の大きさは？」
というのが出発点と見ましょう
こっちの方が高級だとおもいます（主観）
＃「除法は乗法の逆演算」と定義するのは数学的には一直線できれいだけど
＃きっと日常では，乗法・除法は別の生まれで，関係がある！というのは
＃後からみつかったのではなかろうか・・微分と積分みたいに

そう考えると，
10に2個わける（10÷2）と，5ずつになる（10÷2=5）

1を2個にわけると？
「半分！」ということで，これを「1/2」と書くことにしよう
1÷2=1/2

じゃあ，逆に
1を何個かにわけて一個が1/2になるようにしたい！
となると・・・
1を1/2で割ってみればいい！
↑
ここ「ゴマカシ」です！
日常の感覚から，これも割り算だと納得していることが前提
生活体験から納得できているはずです．
1÷(1/2)
ですが，これが2であることはわかります
1÷(1/2) = 2

じゃあ，2を3でわったら・・・2/3
逆に 2を何個にわけたら，一個が2/3になるか

一個当たり1/3にするなら6個にわければいいですよね
それが一個当たり2/3にするなら，
一個あたりが二倍になるんだから，分割は半分で3個です
つまり
2÷(2/3) = 2 * (3/2) = 3
↑
ここもゴマカシ！
数学的には穴だらけ

こういうようなことを
ピーズとかビー玉のような個数が
たくさんあるもので何パターンか
手で動かしていけば，
なんとなく見えるんじゃないかなと思います．

まずは
小学校の参考書とかを見るのが
いいんじゃないかなと思います．

お礼

みなさん、ご回答ありがとうございました。
こちらの、お礼欄をお借りして、お礼申し上げます。

私自信が、算数から苦手だったので、わかりやすく説明できないのですが、こちらのご回答が一番、わかりやすいと思いました。

本当に、ありがとうございました。

回答No.8

keiryu

理屈としてでなく、感覚実感としてお話するのも一方法かと。
3/4×2/5がそれぞれを掛けて6/20になるのに疑問を感じないのなら、
3/4÷2/5もそれぞれを割ったらいいではないかと思うのは自然な考えのように思われます。
でも、3ば２では割れないし、4も5では割れない。
で、割れるようにするには、3/4を通分（？）して、（3×2×5）/（4×2×5）にしておくき、
2/5でそれぞれを割ると（3×5）/（4×2）となり、ひっくり返して掛けた形になっている、でしょ。
とお話として納得してもらうのも一興かと思われる。まことに、胡散臭い説明ですが・・・・。

回答No.7

noname#227653

お母様は整数の割り算はできますか。
10÷５＝２　　はできますねきっと。
10÷４＝2.5　　はどうですか。できるかな。
では10÷３＝10/３　　はどうでしょう。
つまり、割り切れない場合でも分数で答えられますか。

それと、分数のかけ算はどうですか。
たとえば３×２/７＝６/７は大丈夫ですか。

それともう一つ、整数は分母が１の分数と同じだ、というのはわかりますか。
例えば５は5/1、６は6/1に直せますか。

このみっつができればオッケーです。

まず、10÷３＝10/3をもう一度考えましょう。この中の３を分数の3/1に直します。10÷3/1＝10/3になりますね。
次に10×1/3を計算してみましょう。答えは10/3になりますね。
すると、このふたつの式、10÷3/1と10×1/3の答えは同じになりますね。だから、3/1で割ることと1/3をかけることは同じになるんです。
そうであるなら数が変わったってかまわないはずですよね。A/Bで割ることとB/Aをかけることは同じなのです。

ただ、この説明は実は本質的なものではありません。「分数で割ることと、ひっくり返した分数をかけることを、両方やってみたら答えが同じになったでしょ。だからこれでいいんだよ」という説明なので、簡単にいえば「やってみたらあってたからこれでいいんだ」というようなものですから、本質を説明しているわけではないのです。
でも、80歳を越え算数があまり得意ではないお母様のようですから、あまり複雑で抽象的な説明をしてもわからなくなるばかりでしょう。このくらいの説明で納得して下さるのではないでしょうか。

これでもやっぱりわかりにくいとか、説明したけどお母様が納得しなかったとか、そもそも10÷3ができないとかいうことでしたら補足をつけて下さい。別の説明を考えてみます（思いつくかどうかわかりませんが）。

回答No.6

Ginga_Hasegawa

質問者も親御さんと同様に、分数そのものが理解できていない。
高等数学なんて不要であり、算数レベルで充分話が済みます。

3/5＝3÷5でしかありません。分数は自然数とは異なり、計算途上の
数字を便宜上表しているに過ぎません。あとは逆数を理解すればいいだけ。

割り算の場合は逆数にすればいいだけと言いますが、何故そうなるかを
理解しましょう。そうすれば、両人ともすぐに理解できますよ。

4x(3/5)＝4x3÷5であり、4÷(3/5)＝4÷（3÷5）＝4÷3x5＝4x(5/3)です。
＋と－、×と÷は、裏表の関係に過ぎません。

回答No.4

yukichance

分数は、数だらけになると、誤解する―（帯分数、仮分数など）
言葉をぶち込むと、よいのかも…
ケーキ1/(ケーキ1/4)=（ケーキ1/4）が4

回答No.3

ORUKA1951

＞数学の得意な友達に聞いたのですが、分数は、もともと自然界に存在しないものなので、難しいと言われました。
　それはないでしょう。分数なんと有史以来ありますが、少なくとも現代数学の系譜であるヨーロッパにおいては、「ヨーロッパではじめて小数を提唱したのは、オランダのシモン・ステヴィンである。1585年に出版した「十進分数論」のなかで，はじめて小数を発表した。( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%8F%E6%95%B0#.E5.B0.8F.E6.95.B0.E3.81.AE.E8.B5.B7.E6.BA.90 )」という400年そこいらの歴史しかありません。
　実際 1/3 は三つに分ければ目の前に存在するけど、これを小数で表せといわれたら・・

　以下有理数の分数についての説明ですが、
　大事なことは、分数と、通常の数は逆数の関係にあるという事です。
　1/2 とは、2の逆数ですから、2 × (1/2) = 1　になります。
　　そして、これは、分数をかけるということは、2を2で割ると同義であることを理解すること
　中学校で、あなたは「割り算は、逆数をかけることに等しい」、引き算は「負数を加えることに等しい」と学んだはずです。【よね？？】
　小学校で、
「小さい数から大きい数を引けない」　　2から3は引けない
「掛け算には順番がある」　イチゴが３個乗っている皿が２枚あれば、3×2でなければならない
　と徹底的に習ったはずです。それが中学校になると数の抽象化や拡張を学ぶなかで、引き算は[負の数]を加えること。割り算は[逆数]をかけることと習ったはずです。
　それによって、
　　3 - 2 ≠ 2 - 3 ⇒ 3 +(-2) = (-2)+3
　　2÷3 ≠ 3÷2 　⇒ 2 ×(1/3) = (1/3)×2
　すなわち、 a ? B = B ? a の交換の法則・・ですが、その他
[分配の法則]　a( b + c) = ab + ac
[結合の法則]　ab + ac = a(b + c)
　を用いて、自由に計算が出来るようになったはずです。
　^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^
＞1/４÷５/3
　これは、(1/4)÷(5/3) という意味で書かれているとして、そのまま割り算ですから、(5/3)の逆数（5/3にかけると1になる数）をかける形に書き換えられます。
　(1/4)÷(5/3) = (1/4)×(3/5)
　　と全く同じ意味です。さらに言うと、交換が使えますから
　(1/4)÷(5/3) = (1/4)×(3/5) = (1)×(1/4)×(3)×(1/5) = (3)×(1/4)×(1/5) = 3×(1/20)

＞分母と分子をひっくり返すというか、変更しますよね。
　違います。その数で割っているから、逆数の掛け算に直しているのですよ!!!
　　2÷3 ⇒ 2×(1/3)　も逆数をかけているでしょ。
　(注)引き算も同様ですよ!!!
　数学とは、同じ計算手順が使えるように数を拡張していったものです。

　25%引きで、600円だった、元の価格は？？と聞かれたら、(元の金額)×(3/4)=600なので、
(元の金額)×(3/4)×(4/3)=600×(4/3)
　　　　　　^^^^^^^^^^^^逆数をかけると1になる。「かけてある数で割ると消える」
(元の金額)= 600×(4/3) = 600×(4)×(1/3) = 600×(1/3)×(4)=200×4 = 800
と簡単に計算しているでしょ？？？

回答No.2

tawashi8

うーん...数学どころか算数の基本演算に何故というのを説明するのは難しいですね。１＋１＝２の証明にはペアノの公理というのを用いて証明するのですが、個人的にはあまりスッキリしませんでした。（というかよく理解出来ない）

数学は「何故これが成り立つのか？」という説明は出来ても、自然科学的な「何故こうなるのか？何故こういう事が起きるのか？」という疑問に答えるのは難しく、数学の式変形において「何でこうするのか？」という質問には「こうするとキレイでシンプルな形になって都合が良いから」と言うしかない気がします。例えば約分や有理化などは式を簡潔にまとめているだけに過ぎませんので、そこに意味や理屈は無いと思います。勿論、「何故これが成り立つのか？この式はどこから持ってきたのか」という質問には、その問題における条件式や関係式、定理から導いたと説明する事が可能ですが。

私にはそのお母様の疑問を解決出来るか分かりませんが、自分だったら下のように説明して何とか納得してもらえるように頑張りますね。

回答No.1

aky_nil

5個のリンゴがあります。
1人リンゴの半分（1/2）もらえます。何人リンゴをもらえますか？
これは5 ÷ (1/2)=10人。

口頭で説明するなら
まず、1/2は半分ってこと。
例えば、人にリンゴをあげるとき、1人にリンゴの半分、つまり1/2個渡したら1個で2人に渡せるよね。
5個だったら10人に渡せる。
これは5÷(1/2)をやってることと同じなんだけど、今5×2で10人って出したよね。
だから分数で割るときは、分母と分子を逆にしてかけて計算するんだよ。
みたいな。

1/2だと単純に2でかけるだけで、「逆にする」という部分が納得しないかもしれませんので、
3個のリンゴを1人3/4ずつわける、みたいな感じでも良いかもしれません。
4等分して1人3切れ、リンゴが3個あったら何人分？のような感じでしょうか。