カードトリック問題についての文章について
こんにちは。何回も質問してすみません＞＜
カードトリックについて、次のような内容であることが今までの質問でわかりました。
「21 枚のカードを、絵が見えるように上にして、三枚ずつ七行に並べていく。七行・三列の行列にする。そして、観客に一枚を選ばせ、三列のうちのどの列なのか言わせる。カードは手渡さない。指示された列
が真ん中になるよう各列のカードを集めたあと、また繰り返す。これを３ラウンド繰り返せば、観客の選んだ札を言い当てられる。さらに、一般化して、P*Q 枚の札を P 列(columns)、Q 行(rows)に配列した場合(上の例では、P=3 and Q=7)を考える。P, Q が奇数の場合、P=2p+1 および Q=2q+1 (p>=1 and q>=1)とする。(上の例では、p=1 and q=3)重ねたカードの上から順番に 1, 2, 3, ... と番号付けすると、真ん中のカードの上下には (P*Q-1)/2 枚ずつあり(上の例では10枚ずつ)真ん中のカードの番号(C)は C = (P*Q+1)/2 = p*Q+q+1 = q*P+p+1 である。(上の例では C=11)このトリックを第 n ラウンドした後、選ばれたカードが重ねたカードの上から X(n) 番目だったとする。次の(n+1)ラウンドでそれが第 r 行に現れるとすれば、その r は X(n)/P 以上の整数で最小の値のものである。m>=Y の最小整数を <Y> と書けば、選ばれたカードが真ん中の列になるようカードを重ねなおしたあと、選ばれた札の番号 X(n+1) は次のような関係を満たす。
X(n+1) = p*Q+<X(n)/P>
問題の対称性から、選ばれたカードが重ねたカードの上半分にあるだけに注目すればよい。そこで 1=<X(0)=<C と仮定する。上記の帰納法により、すべての n について X(n)=<C である。そうすると、
X(n+1) = p*Q+<X(n)/P> = <p*Q+<C/P> = p*Q+<(q*P+p+1)/P> = p*Q+q+1=C
同様にして、Xn=C のとき X(n+1) = C である。また X(1)>p*Q の場合は、
pO<X(1)<X(2)<....<X(N-1)<X(N)=C=X(N+1)=X(N+2)=....(不動点 !)
となる整数 N があることを示せる。(上の例では、第3ラウンドでカードを行列に配列したとき、選ばれたカードは必ず第4行にあり、観客にどの列にあるかを指示させたら、どのカードかがわかる。もう一度カードを重ねて行列に配りなおせば、選ばれたカードはど真ん中にくる。さらに繰り返すと、いつもど真ん中にくる。)」という内容でした。この続きに、下のような文章があったのですが、どのようにつながっているのかが、わかりません（泣）
わからない文章は、
[The number of rounds]
In the case of the trick as first described, P=3,Q=7 and C=11. In this case,
X1>=8, X2>=7＋<8/3>=10,
11>=X3=7＋<10/3>=11.
Thus (as stated in the first section) the chosen card is in the central position after three rounds.We turn now to discuss the number of rounds needed for the pack of general size. First, as X1>pQ we deduce that
C>=X2>=pQ＋<(pQ＋1)/P>.
Now P>=Q implies that pQ>=qP which, in turn, implies that
C>=X2>=pQ＋<(qP＋1)/P>=pQ＋q＋1=C.
Thus if P>=Q (and, in particular, if P=Q) then the chosen card is already in the central position after the second round regardless of the size of P and Q. A little thought should now show that, in retrospect, this is rather obviously so.
The situation when Q>P is more complicated, and we shall show that the chosen card is always in the cantral position
by the n th round provided that
n>=1＋logQ/logP.・・・(2)
We shall also given an example to show that in some cases this lower bound is indeed the smallest n for which the chosen
card is centrally placed, so the inequality (2) cannot be improved upon. If P>=Q, then (2) simply says that Xn=C as soon
as n=2, a fact we have already observed above. Note also that (2) shows that, for a fixed P, the number of rounds needed
tends to ＋∞ as Q does. We begin with the example to show that (2) cannot be improved upon.
Example Consider the trick with P=3, and Q=3^N, so that C=2/1(3^(N＋1)＋1), and let the selected card be the first in the
psck. Then
X1=pQ＋<1/3>=3^N＋1
X2=3^N＋<3/1(3^N＋1)>=3^N＋3^(N-1)＋1,
・
・
です。
質問１：いきなりlogがでできているところで、何でか？
質問２：∞の文章の意味
特にこの２つが疑問です＞＜
アドバイスお願いします＞＜
お礼
"the"については、とてもよくわかりました。どうもありがとうございます。
補足
質問のところに載せたURLから コメントが移動されてしまいました。すいません。 http://us.imdb.com/CommentsShow?0192071-47 があたらしいURLです。