ガウスシアンとローレンチアン

質問

ガウスシアンとローレンチアンについておしえてください。ガウシアンはおそらくいわゆる正規分布(ガウス分布)だと思うのですが、ローレンチアンはどういうもの(分布？)でしょうか。また、それぞれの分布を持つ物理現象にはどういうものがあり、そのれぞれにどのような物理的意義があるのでしょうか。よろしくお願い致します。

回答No.2

siegmund · ベストアンサー

ガウシアンは分布関数が
(1)　　(1/2πσ)^(1/2) exp{-(x-x0)^2/2σ}
ローレンチアンは分布関数が
(2)　　(1/2π) γ/{(x-x0)^2 + γ^2}
です．

ガウシアンの方は非常に多く見られます．
例えば，気体分子の速度の分布(マックスウェル分布)など．

motsuan さんの書かれているとおり，ローレンチアンは共鳴曲線でよく見られます．
強制振動の振幅などの振動数依存性が，共鳴周波数付近で減衰が小さいとき
ローレンチアンになっています．

よく，ローレンチアンが裾が長い，といわれます．
x-x0 が大きくなったときの減衰の様子が，ガウシアンよあり遥かに弱いことは
(1)(2)から明らかです．
ガウシアンではすべてのモーメント
(3)　　<(x-x0)^(2n)>　　n=1,2,3,...
が収束しますが，ローレンチアンでは全部発散してしまいます．
したがって，ローレンチアンでは分散も発散します．

お礼

回答ありがとうございます。
実際のところ数学的なことはあまりちゃんと理解できないのですが、これをもとにもすこし勉強いたします。

回答No.1

motsuan

私のイメージとしては

ガウシアンは有限な分散をもつ確率分布を正規化したときの極限
（数学の自然法則！？中央極限定理）として
自然な分布として仮定される場合が多いと思います。
一方、ローレンツィアンは共鳴現象のスペクトルとして得られたり、
共鳴の緩和現象の相似性から導かれる分布というイメージがあります。
共鳴現象の場合はグリーン関数の
エネルギースペクトルのポール（複素数値）として
完全な束縛状態ではない場合に、
緩和現象の場合はexp(-a*|t|)をフーリエ変換すると導かれます。

といったところです。（非常に雑なイメージでもうしわけありません。）

お礼

回答ありがとうございます。
なんとなくイメージできました。