区分求積のささいな疑問

質問

高3です
過去問をやっていたら(1)式が出てきました
実際正しいのでしょうが
自分には1/2という数字が無視できる数とは思えません
どうか納得のいく説明をいただけないでしょうか

また(1)式同様、(2)式も成り立つのでしょうか

回答No.8

noname#199771 · ベストアンサー

気を取り直して訂正版です。

(1)
端的に言いますと

Σ(1/n){((k+(1/2))/n)^99-(k/n)^99}　→ 0 （n→∞）

だからです。

Σ(1/n)(k/n)^99の極限とΣ(1/n)((k+(1/2))/n)^99との極限が等しくなるので
Σ(1/n)(k/n)^99　→　∫[x=0→1]x^99dx　（n→∞）より
Σ(1/n)((k+(1/2))/n)^99　→　∫[x=0→1]x^99dx　（n→∞）となります。

(2)
以下の説明は高校の範囲を超えているので参考程度に留めてください。

a>0を一つ固定します。
閉区間[-a,1+a]でfが連続とします。
[0,1]ではなく[-a,1+a]を考えるのは、m≠0のとき(k+m)/nが[0.1]を
はみ出てしまうから。

任意のε>0を固定します。
あるδ>0が存在して、
-a≦x,y≦1+aかつ|x-y|<δなる任意のx,yに対して|f(x)-f(y)|<ε　・・・★

が成り立ちます。
δがxやyに無関係に選べることが重要です（一様連続性）。

ここでmax{|m|/a,|m|/δ}<Nなる自然数Nを一つとります。
n≧Nなる任意の自然数nおよび1≦k≦nなる任意の自然数kに対して、
|(k/n)-{(k+m)/n}|=|m|/n≦|m|/N<δなので、★より

Σ[k=1～n]|(1/n)f(k/n)-(1/n)f((k+m)/n)|
=Σ[k=1～n](1/n)|f(k/n)-f((k+m)/n)|
<Σ[k=1～n](1/n)ε
=n(1/n)ε
=ε

となります。
これは
Σ(1/n)f(k/n)の極限とΣ(1/n)f((k+m)/n)の極限とがもし存在すれば
互いに等しいことを意味します。

Σ(1/n)f(k/n)　→　∫[x=0→1]f(x)dx　（n→∞）なので
Σ(1/n)f((k+m)/n)　→　∫[x=0→1]f(x)dx　（n→∞）となります。

お礼

聞きかじった程度ですが勘弁を
ε-N論法でしょうか
εでΣ(1/n)f(k/n)の極限とΣ(1/n)f((k+m)/n)の極限の差を潰しているという認識でよいのですかね
この証明法はスカッとするものがありますね(本音を言うと頭が痛くなってますが)

気がつけば、ささやかな質問じゃなくなってますね
すみませんありがとうございました

回答No.7

noname#199771

ああだめだ。#5は間違いなので無視してください。。。

回答No.6

noname#199771

#5ですがΣをはしょってあります。
念のため。。。

回答No.5

noname#199771

(1)
端的に言いますと

(1/n){((k+(1/2))/n)^99-(k/n)^99}　→ 0 （n→∞）

だからです。

(1/n)(k/n)^99の極限と(1/n)((k+(1/2))/n)^99との極限が等しくなるので
(1/n)(k/n)^99　→　∫[x=0→1]x^99dx　（n→∞）より
(1/n)((k+(1/2))/n)^99　→　∫[x=0→1]x^99dx　（n→∞）となります。

(2)
以下の説明は高校の範囲を超えているので参考程度に留めてください。

a>0を一つ固定します。
閉区間[-a,1+a]でfが連続とします。
[0,1]ではなく[-a,1+a]を考えるのは、m≠0のとき(k+m)/nが[0.1]を
はみ出てしまうから。

任意のε>0を固定します。
あるδ>0が存在して、
-a≦x,y≦1+aかつ|x-y|<δなる任意のx,yに対して|f(x)-f(y)|<1　・・・★

が成り立ちます。
δがxやyと無関係に選べることが重要です（一様連続性）。

ここでmax{|m|/a,|m|/δ,1/ε}<Nなる自然数Nを一つとります。
n≧Nなる任意の自然数nに対して、
|(k/n)-{(k+m)/n}|=|m|/n≦|m|/N<δなので、★より

|(1/n)f(k/n)-(1/n)f((k+m)/n)|
=(1/n)|f(k/n)-f((k+m)/n)|
<1/n
≦1/N
<ε

となります。
これは
(1/n)f(k/n)の極限と(1/n)f((k+m)/n)の極限とがもし存在すれば
互いに等しいことを意味します。

(1/n)f(k/n)　→　∫[x=0→1]f(x)dx　（n→∞）なので
(1/n)f((k+m)/n)　→　∫[x=0→1]f(x)dx　（n→∞）となります。

回答No.4

kabaokaba

No.2です
あー，(2)のmの条件のこと勘違いしてた

ついでに，
x^2の[0,1]での定積分・・・
2/3じゃなくって1/3です．typoでした

f(x)=x^2でやってみませう

f((k+m)/n)= (k/n)^2 + 2km/n^2 + (m/n)^2

k=1,..,nで和をとると

(1/6(n^2)) n(n+1)(2n+1)
+ ((2m)/n^2) n(n+1)/2
+ (m/n)^2

1/nをかけて

(1/(6n^3)) n(n+1)(2n+1)
+ ((2m)/n^3) n(n+1)/2 + m^2/n^3

これの極限は 1/3 でこの場合は m が任意定数で問題ありません

ところがですね，
私も書きましたけど

(k+m)/nが小さな区間の点なのか？

というのがまず問題です．
たとえば，mが-2とかだったら区間外ですよね
さらに・・・(k+m)/nが関数の定義域に入るのか？
とかも問題なります．

f(x)=x^2の場合はmが多少変な値でも
定義域が全実数だし，関数もシンプルで
問題にはならない（上で計算したとおり）ですが
一般の場合はだめでしょう．

mが正の実数で定数だったら問題はないでしょうが
それほど自明なこと（すくなくとも高校の範囲では）では
ないでしょう．

お礼

(2)の条件は割と適当につけたので不手際はこちらにあるかもしれません
おかげでNo.3さんのおっしゃっている意味も理解できた気がします

>たとえば、mが-2とかだったら区間外ですよね
疑問を持ってしまいました
No.3さんと同じ表現をするなら
lim[n→∞] (-2/n) = 0となり
支店～終点は区間[0,1]のなかにすっぽりと入るのではないでしょうか

回答No.3

entap

lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) ((k+1/2)/n)^(99)

ですよね。
区分求積法の原理から、
lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) (f(k/n)) = ∫ f(x) dx (from 0 to 1) が言えます。

では今回のf(x)は何かというと
((k+1/2)/n)^(99) ですが、1/2nがたしかに邪魔です。
ですが、では、Σを使わずに列挙してみましょう。

lim[n→∞]　1/n{ (1/n+1/2n))^(99) + (2/n+1/2n))^(99) + (3/n+1/2n))^(99) + ... + (1+1/2n))^(99)}
これは、
lim[n→∞]　1/n{ (1/n))^(99) + (2/n))^(99) + (3/n))^(99) + ... + (1))^(99)}
と同じ値を取ります。(lim[n→∞] 1/2n = 0ですから。)

よって、
lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) ((k+1/2)/n)^(99)
= lim[n→∞]　1/n{ (1/n+1/2n))^(99) + (2/n+1/2n))^(99) + (3/n+1/2n))^(99) + ... + (1+1/2n))^(99)}
= lim[n→∞]　1/n{ (1/n))^(99) + (2/n))^(99) + (3/n))^(99) + ... + (1))^(99)}
= lim[n→∞]　1/n Σ(k=1→n) (k/n)^(99)
= ∫x^99 dx (from 0 to 1)
= 1　となります。

同様に、(2)も、定数が可算数である限り成り立ちます。
lim[n→∞] m/n = 0ですから。

以上の説明でどうでしょうか。

お礼

>lim[n→∞]　1/n{ (1/n+1/2n))^(99) + (2/n+1/2n))^(99) + (3/n+1/2n))^(99) + ... + (1+1/2n))^(99)}
これは、
lim[n→∞]　1/n{ (1/n))^(99) + (2/n))^(99) + (3/n))^(99) + ... + (1))^(99)}
と同じ値を取ります。(lim[n→∞] 1/2n = 0ですから。)

ここが自分にとっての最大の難所のようです
極限値計算の過程で別個にn→∞をしてもよいものか考えているのです

ありがとうございます

回答No.2

kabaokaba

「区分求積」というのは

たとえば，

区間 [0,1] を 1/n に分割する，
分割後のk個目の区間は [(k-1)/n, k/n] となる
[(k-1)/n, k/n] での関数 f(x) の値を
[(k-1)/n, k/n]の「任意の点ξk」での値 f(ξk) で代表させる
小さな長方形の面積 (1/n)f(ξk)を全部足す
長方形の面積の和のn->∞での極限を求める

という操作です．
高校の段階ではξkは区間の端に限定されることが多いですが
実は，各小区間の任意の点でOKです
＃本当は，この「どこでもいい」ということこそが
＃「積分可能」の定義のメインだったりしますが
＃連続関数を考える分には問題ありません

納得できない場合は，区分求積でよくでてくる
「グラフを短冊に切る図」を書いてみてください
短冊の高さを区間のどこに取ろうと，
面積はきちんと収束することが感覚的に見えると思います

f(x)=xとかf(x)=x^2なら，ξkをどこにとっても
地道に極限の計算をすれば1/2や2/3になることがわかるはずです
＃ξkのずれ具合が分母にあるnによって極限できえるはずです

お礼

なるほど、等分割でなく点列で分けていくのですね

>実は，各小区間の任意の点でOKです
それを踏まえて図を書けば自明ですね
図を書くことを怠ってました。反省します

回答No.1

naniwacchi

こんにちわ。

区分求積の式って、
lim[n→∞] 1/n* Σ[k=1～n] f(k/n)＝ ∫[0→1] f(x) dx

の形ですよね。

いまの質問で書かれている式は、質問者さんも指摘されているとおり
((k+1/2)/n)^m＝ { (k/n)+ 1/(2n) }^m

の形になっていて、上の形にはあっていません。
n→∞なら無視できるんじゃないの？というのもあるのですが、
n→∞とするタイミング（総和をとる前なのか、後なのか）が問題になります。

1/(2n)を無視するのであれば n→∞はΣの前に計算することになりますが、
区分求積の式は Σの後で n→∞とすることを考えています。

(1)式は最終的にそのような結果になるかもしれませんが、
(2)式のような一般形は言えないと思います。

お礼

>(2)式のような一般形は言えないと思います。
面白いですね

キーボードで数式を書くのに慣れていないため
乱雑な字を見せてしまいました申し訳ありません
丁寧な解答、解読ありがとうございました
続きは大学に行って学習しようと思います