代数学 群の準同型 についての問題を教えてください

質問

代数学について教えていただきたいです。

A= (1 2
2 3) とするとき
fA:R^2→R^2 , x→ Ax が準同型であることを示せ
この写像の核と像を求めよ

がいまいちわかりません
お願いします。

回答No.1

stomachman

これは「群論の基本的な用語を知ってるか？」ということを見る問題みたいですね。
　まず「線形代数のベクトルは、ベクトル同士の足し算 + という演算について群になってる」ということを「群」の定義にそって確認。この群の単位元は「すべての成分が0であるベクトル」ですね。で、写像f(x) =Ax を、群から群への写像の「準同形」の定義と突き合わせてみれば良いだけ。「核」「像」も用語の定義さえ知ってれば瞬殺です。
　Aが逆行列を持つ場合（|A|≠0）のほかに、Aが逆行列を持たない場合（たとえば、A=((1,2), (1,2))のとき）も考えてみれば、「準同形」「核」「像」という概念のエッセンスが理解できると思います。