約分できるかどうかの判断

質問

27/99
317/450
818/51

などの答えになった時、
約分できるかどうかすごく迷います。
何か判断方法ってあるのでしょうか。

回答No.7

alice_44 · ベストアンサー

極端に易しい例では、素因数分解してしまうのが、
話が早いですね。説明も途中計算も無しです済む。
今回の例では、27/99 が、それにあたるでしょう。

でも、ちょっと桁数が増えると、素因数分解は
しんどくなってきます。何か工夫はないかな？

今回の例で、818/51 を見てみると、仮分数を
帯分数にして 818/51 = 16 + 2/51 とする
ことを思いつきませんか？

818/51 が約分できるかと 2/51 が約分できるかは、
yes/no が一致します。約分した後
仮分数に戻すことを考えたら、解りますね。

この例では、2/51 が約分できないことは
すぐ判りますが、帯分数にした分数部分が
まだ桁数の多い分数だったら、どうしましょう？

そのときは、2/51 が約分できるかと
51/2 が約分できるかが、一致することを
使えばよいです。分子分母が素かどうかは、
ひっくり返しても変わりませんから。

51/2 は、仮分数ですから、再度
帯分数にして分子を小さくする手法が使えます。

これを何度も繰り返すのが、ユークリッドの
互除法です。

途中まで何回か繰り返した後、ある程度
分子分母が小さくなったところで、
素因数分解に打って出てもいいですね。

お礼

ありがとうございます。

回答No.6

kmee

約分というは、「分子と分母を、その(最大)公約数で割る」ことです。
そして、最大公約数を求める方法はいろいろありますが、「ユークリッドの互除法」を使うと、手順通りに計算するだけで最大公約数が求められます。

約数が簡単に見付かりそうもない場合は、互除法で最大公約数を求めた方が早いでしょう。

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A6%E3%83%BC%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%83%E3%83%89%E3%81%AE%E4%BA%92%E9%99%A4%E6%B3%95

317/450
の場合
450 ÷ 317 = 1 あまり 133
↓
317 ÷ 133 = 2 あまり 51
↓
133 ÷ 51 = 2 あまり 31
↓
51 ÷ 31 = 1 あまり 20
↓
31 ÷ 20 = 1 あまり 11
↓
20 ÷ 11 = 1 あまり 9
↓
11 ÷ 9 = 1 あまり 2
↓
9 ÷ 2 = 4 あまり 1
↓
2 ÷ 1 = 2 あまり 0 →最大公約数は 1

最大公約数が1なので、これ以上約分できない(既約分数)

お礼

ありがとうございました。

回答No.5

tsuyoshi2004

まあ、分子か分母の判りやすい方をとりあえず素因数分解してみるしかないでしょうね。

27/99なら、ぱっと見て分子も分母も９（３×３）で割れるのがわかるので、3/11

317/450だと、317は面倒そうなので、450を２×３×３×５×５として、317が２でも３でも５でも割れないので、約分はできないと判断。

818/51だと、51を３×１７として、８１８が３でも１７でも割れないので、約分はできないと判断。

かな？

ちなみに、
２の倍数は偶数（下一桁が０，２，４，６，８）
３の倍数は、それぞれの桁の数字を足したものが３の倍数（357なら、3+5+7=15=3×5だから、３の倍数）
５の倍数は、下一桁が０か５
７の倍数は、下記参照
１１の倍数は、奇数桁の数の合計と偶数桁の数の合計の差が１１の倍数（1925なら、(9+5)-(1+2)=11なので、１１の倍数）
など、素数の倍数の法則を知っていると少しは楽になります。

記
７の倍数かどうかの判断。
３桁までの場合は、１００の位の数字の２倍を下二桁に足したものが７の倍数なら７の倍数。
例えば、322なら、22+3×2=28=７×４なので、７の倍数
４桁以上の場合は、下３桁から千の位以上の数字を引いた数が７の倍数なら７の倍数。
例えば、22169なら169-22=147=７×２１なので、７の倍数

お礼

ありがとうございました。

回答No.4

ORUKA1951

割り切れる数字をある程度覚えておくしかない
27/99　は、2+7 = 9、9+9=18 1+8 = 9 でいずれも3で割れるので
　9/33 これも、 3+3=6 ですから、3で割れるので 3/11

317/450は、450は10*5*3*3はすぐ分かるので、317がこれらで割れるか考える。
　10×、5×、3+1+7=11 は3の倍数ではないので通分できない

818/51　51は、5+1=6 なので、3で割れ、17
　818は÷2⇒409⇒ √409 ≒ 20 なので、約数があれば20まで、素数2,3,5,7,11で割れないのは明白なので13と17で割れるかだけチェックする。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

中村 拓男（@tknakamuri）

ユークリッド互除法

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

watecolor1969

分母を素因数分解して
その中に分子の約数が含まれているか確認する。

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

lily5353

判断方法は素因数分解

27/99＝（３×３×３）/（３×３×１１）＝3/11

317/450
⇒ 450＝2×3×3×5×5
⇒ 317を450の素因数（2/3/5）のいずれでも割り切れないため、これ以上約分できません。

818/51
⇒ 51＝3×17
⇒ 818を51の素因数（3/17）のいずれでも割り切れないため、これ以上約分できません。

※317、818などおおきな数の素因数分解は手間がかかるので、分子か分母の片方だけ素因数分化すればよい。ちなみに317は素数で、自分と1以外の素因数は持たない。818＝2×409に分解できます。