双曲線の描き方

質問

v(x), u(x)として、双曲線
v^2-((1-x^4)/x^4)u^2=C(定数)
のグラフの書き方を教えてください。

回答No.5

alice_44 · ベストアンサー

＞ u→x,v→y,x→tと置き換えて
　↑
は、x の役割が混乱するので、あまりお勧めできません。
座標軸に u v とラベルするほうが、はるかに簡明でしょう。

パソコンにグラフを書かせて終わったのでは、
何故そのグラフになるのかが不明なままでしょうから、
双曲線の漸近線の求めかたを理解しておきましょう。

標準型 x^2/a^2 - y^2/b^2 = ±1 のままでなく、
(x/a + y/b)(x/a - y/b) = ±1 と因数分解することが
役に立つはずです、参考↓
http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/quadratic_2.htm

お礼

皆様回答ありがとうございました。

回答No.4

info22_

No.2です。

u→x,v→y,x→tと置き換えて
F(x,y;t)=y^2-((1-t^4)/t^4)x^2=C
(Cはゼロでない定数,tは|t|<1を満たすパラメータ)
と表現すればいいと思います。
F(x,y;t)=0が双曲線の2本の漸近線の式になります。
つまり　y=±x(√(1-t^4)/t^2 が双曲線の漸近線　です。

C＞0のときx軸対称に向かい合った下に凸の曲線と上に凸の曲線の二葉の曲線になります。x=0とおけば双曲線の２つ頂点（y切片）としてyの極小値と極大値が出ます。

C＜0のときはy軸対称に向かい合った右に凸の曲線と左に凸の曲線の二葉の曲線になります。y=0とおけば双曲線の２つ頂点（x切片）としてxの極小値と極大値が出ます。

グラフを描くには、パラメータ(媒介変数)tを決めて、F(x,y;t)の式を出し、
F(x,y,t)=C=0とした、2本の漸近線と
F(0,y;t)=CまたはF(x,0,t)=Cから極値のy切片またはx切片を求めて、双曲線の概形を描けば良いでしょう。

tを色々変化させてグラフがどう変化するか確認したければ、陰関数のグラフが描ける二次元プロットソフトを使えば良いでしょう。
有料、無料ソフトが色々出ているようですから使ってみると良いでしょう。
添付図は、フリーソフトのGRAPES（この名前で検索すればダウンロード先や使い方の情報が得られます）の陰関数のプロット機能を使って描いたF(x,y;t)=Cのグラフです。

参考URL：

http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~tomodak/grapes/

回答No.3

alice_44

＞ 正しくは、「v(x), u(x)として、
＞ v^2-((1-x^4)/x^4)u^2=C(定数)
＞ が成り立つとき、P(u,v)の軌跡の書き方

依然として、「何を」v(x), u(x)としたのか
書いてありませんが、
u-v 平面上の、x の値に応じて変化する曲線
v^2 - ((1-x^4)/x^4)u^2 = C(定数)
の話ではあるようですね。

それなら、A No.1 に答えたととおりです。
漸近線二本と、連結成分ごとの通過点一個づつ
を挙げれば、概形を求めたことになるでしょう。
双曲線であることは、既に知っているのですから。

x が、ちゃんと双曲線になる範囲であることも
要確認ですよ。

回答No.2

info22_

v^2-((1-x^4)/x^4)u^2=C(定数)
は双曲線はありません。
v(x), u(x)が与えられたとしても、xだけの式になって、双曲線にはなりません。
xとyとの２変数の方程式
　x^2/a^2 -y^2/b^2=±1
が双曲線の方程式の標準形です。

参考URL：

http://www.geisya.or.jp/~mwm48961/kou3/quadratic_2.htm

回答No.1

alice_44

＞ v(x), u(x)として
　↑
何を？

u-v 平面上の双曲線 v^2 - ((1-x^4)/x^4)u^2 = C
を作図する話をしているなら、

実用上は、左辺を u,v について因数分解して
{ v + √((1-x^4)/x^4)u }{ v - √((1-x^4)/x^4)u } = C
とすれば、漸近線が判るから、概形は書けるんじゃないの？

双曲線であること( x の範囲 )が保証されているかどうか
が気になるけれど。

それとも、焦点と準線を求めて、
ヒモを使って書こうって話？

補足

正しくは、「v(x), u(x)として、
v^2-((1-x^4)/x^4)u^2=C(定数)
が成り立つとき、P(u,v)の軌跡の書き方を教えてください。」です。分かりにくくてすみません。