物理

質問

半径20mの円軌道を速さ40/3.6m/sのジェットコースターが通過する。軌道面は水平面から角度αだけ傾いている。レールが軌道面に平行な力を与えないですむためには、αをいくらにしなければならない か。

答えは、mgtanα=mv^2/rより、α=0.56rad=32°
だそうです。

tanではなくsinではないのでしょうか。

解法を教えてください。

回答No.3

htms42

＃１です。

どうも私が間違っていたようです。
重力と垂直抗力の合力が円の中心向きの力、向心力にならなければいけないのです。
垂直抗力≠重力の面に垂直な成分　です。
したがってtanα　の式になります。

すみませんでした。

回答No.2

hitokotonusi

状況が今ひとつ不明ですが，円軌道は水平面内にありレールがα傾いている添付図の状況では？

この場合垂直抗力の方向と，重力と遠心力の合力の方向が一致すれば回転座標系でつりあいの状態になるので，

tanα = (mv^2/R)/mg = v^2/gR

回答No.1

htms42

この円運動が実現するためには向心力ｍｖ^2/ｒが働いていなければいけません。
向心力はレールから働く力の円の中心向きの水平方向成分です。
レールから働く力を軌道面に垂直な成分と平行な成分に分けて考えます。
軌道面に垂直な成分は垂直抗力です。重力の面に垂直な方向成分とつりあっています。
軌道面に平行な成分はレールによる束縛力です（自動車の場合であれば車輪の摩擦力になります）。
今は軌道面に平行な成分の力が働かないという条件を考えていますので、垂直抗力Ｎだけになります。
向心力はこの垂直抗力の水平成分に等しいのですから

ｍｖ^2/ｒ＝Ｎsinα＝ｍｇcosαsinα
sin２α＝２ｖ^2/(ｇｒ)
（sinαでもtanαでもないと思うのですが・・・）

これにｒ＝２０ｍ、ｖ＝（４０／３．６）ｍ／ｓ　を入れます。
sin２α≦１　のはずなのに、右辺の値は１よりも大きくなります。
これは垂直抗力だけで向心力の全部を賄うのは無理だということです。
時速４０kmで半径２０ｍの円軌道を走るのであればレールの横ずれ防止の束縛力を使わざるをえないということです。設定の時速４０kmという速さが速すぎる、または半径２０mというカーブがきつすぎるということです。

私の計算に間違いがなければ問題が間違っていることになります。