centring matrix（中心行列？）

質問

centring matrix　とは何のことでしょうか？
同じ意味なのでしょうが「centering」ではなく「centring」と記述してありました。
その言葉と式だけが文中にあり、調べてもまったく情報が無く困っています。

この式の証明と、この式が何を意味しているのかがわかる方がいましたら教えてください。
式は画像を添付しています。
よろしくお願いします。

回答No.3

stomachman · ベストアンサー

C = (k×kの単位行列) - (要素が全部1であるk×k行列) / k

つまりCは要素が
　　C[i,i] = (k-1)/k
　　C[i,j] = -1/k (i≠j)
であるk×k行列

　ご質問の図の太字の1は、成分が全部1であるk次元縦ベクトルのことでしょう。これを以下uと書くことにすると、uの転置をuに右から掛けたもの u u' は、（簡単に確かめられる通り）「要素が全部1であるk×k行列」になります。(ここで ' は転置の意味だとします。）

　勝手なk次元縦ベクトルvについて、成分v[i] (i=1,2,…,k)の平均値をmとすると
　　Cv = v - mu
となることは明らか。つまり
　　(Cv)[i] = v[i] - m
であり、これは「vの各成分から(vの成分の平均値)mを差し引いたもの」ということです。たとえば、これを使うと、沢山のデータ v[1], v[2], …, v[k]について、その分散
　　s^2 = (1/k)(Σ(v[i] - m)^2)
を、
　　s^2 = ((Cv)' (Cv))/k
と表せます。Σを使って書けばいいようなもんですが、「いーや、何でも行列で書いて計算するんだ」という流儀に拘るムキには、こういう小道具が必要になるわけで。
　大昔にIBMが開発し（流行らせようとして失敗し）たAPLという高級プログラミング言語は「ベクトル計算」を指向したスタイルで、つまり「何でも行列で書いて計算するんだ」というものであり、実際、大抵のデータ処理プログラムが1行で書けちゃう、という記述能力の高さが特徴でした。そのために、この手の小道具がいっぱい揃ってたんです。

お礼

素早い回答にも関わらず説明が非常にわかりやすかったです。
理解の助けになりました、ありがとうございます。

回答No.2

noname#199771

ググッてみたところ、もしかすると、

I_k: k次単位行列
1_k: 成分が全部1のベクトル
1_k^T: 1_kの転置

かもしれませんし、違うかもしれません。
（記号の）定義なんて文書によって違うものなので、何とも。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

イギリスで centre と書く単語を, アメリカでは center と書く.

お礼

なるほど、そういうことだったんですね。
ありがとうございます。