G={ M | M^TCM=C }が群になる条件

質問

G={ M | M^TCM=C }とするとき(ただしM,Cはn次の正方行列、M^Tは転置行列を表すとする)、Gが群になるためのCが満たすべき必要条件と必要十分条件がわかりません。
(例えば、C=単位行列である場合は、Mが直行行列になることはわかります。)

もしもわかられる方がおられば、お教え頂けないでしょうか？」

回答No.2

muturajcp · ベストアンサー

M^tはMの転置行列とする
G={M|(M^t)CM=C}
{A,B}⊂Gとすると
A^tCA=C
B^tCB=C
(AB)^tCAB=B^tA^tCAB=B^tCB=C
AB∈G
E=単位行列とすると
E^tCE=Cだから
E∈G

CまたはC-C^tが正則
|C|≠0または|C-C^t|≠0のとき
M∈Gならば
M^tCM=C
C^t=M^tC^tM
C-C^t=M^tCM-M^tC^tM=M^t(C-C^t)M
|M^tCM|=|M|^2|C|=|C|
|M^t(C-C^t)M|=|M|^2|C-C^t|=|C-C^t|
(|M|^2-1)|C|=0
(|M|^2-1)|C-C^t|=0
|C|≠0または|C-C^t|≠0だから
|M|^2=1
|M|≠0だから
M^{-1}が存在して
C=M^tCM
M^{-1}^tCM^{-1}
=M^{-1}^tM^tCMM^{-1}
=(MM^{-1})^tC
=C
M^{-1}∈G
Gは群となる
∴
Gが群になるためのCが満たすべき十分条件は
|C|≠0または|C-C^t|≠0
となる

Cが正則でない実対称行列で
|C|=0でC=C^tのとき
L^tCL=A
となる直交行列Lと
対角行列Aが存在する
|A|=a(1,1)*a(2,2)*…*a(n,n)=0
だから
a(k,k)=0となる1≦k≦nが存在する
b(k,k)=0で
j≠kのとき
b(j,j)=1
i≠jのとき
b(i,j)=0
B=(b(i,j))
を単位行列のk行k列成分を0としたものとする
M=LBL^tとすると
M^tCM=C
だから
M∈G
だけれども
|M|=|LBL^t|=0
だから
Mの逆行列M^{-1}は存在しないから
Gは群でない。
∴
Gが群になるためのCが満たすべき必要条件は
|C|≠0またはCが実対称でない
となる

n=2のとき
|C|=0
|C-C^t|=0

C-C^t=
( 0,b)
(-b,0)
とすると
|C-C^t|=b^2=0
b=0
C=C^t
だから
2次の実正方行列に限れば
C≠C^t←→|C-C^t|≠0
となって
Gが群になるためのCが満たすべき必要十分条件は
|C|≠0または|C-C^t|≠0
Cは正則又は非対称
となる

n=3のとき
C-C^t=
(0,a,b)
(-a,0,c)
(-b,-c,0)
とすると
C≠C^t
であっても
|C-C^t|=0
だから
|C|=0
|C-C^t|=0
C≠C^t
のとき不明

|C|=0
Cのk行k列が対称となる1≦k≦nがあるとき
B=(b(i,j))
を単位行列のk行k列成分を0としたものとすると
B^t(C-C^t)B=C-C^t
|B|=0
だから実行列に限れば
M^tCM=C
|M|=0
となるMがありそう
Gが群でなさそう

実行列に限れば
|C|≠0または(Cのすべてのk行k列が非対称)
がGが群になるための必要?条件になりそう

お礼

一つ一つ検討して見るたびに、なるほどと思いました。
大変丁寧に教えて頂き、有り難うございました。

回答No.3

alice_44

A No.2 は、
(|C|≠0 または |C-C^t|≠0) が十分条件であることと、
(|C|≠0 または Cが実対称でない) が必要条件であること
を示したんですね。なるほど。
まだ、必要十分条件は見つかっていない様子。

十分条件を |C|≠0 から (|C|≠0 または |C-C^t|≠0) へ
広げたことの延長として、同じ方法で、
|aC+bC^t|≠0 となるスカラー a,b が存在することも、
|M|≠0 したがって G が群になる十分条件である
ことが解ります。

任意のスカラー a,b について |aC+bC^t|=0 って、
どういう状況だろう？ どうやら、
(C//C^t かつ C が非正則) であるように思うから、←[*]

|C|≠0 または (C≠C^t かつ C≠-C^t)
が必要十分になりそうだけど、それを示すには
[*] が示せるかどうかかな。

お礼

有り難うございます。
とても参考になりました。
自分でももう一度考えてみたいと思います。

回答No.1

alice_44

M∈G かつ N∈G であれば、
((MN)^T)C(MN) = (N^T)(M^T)CMN = (N^T)CN = C
なので、MN∈G.

また、M に逆行列 M^-1 が存在すれば、
(M^T)CM = C に左から (M^T)^-1 右から M^-1 を掛けて、
(M^-1)^T = (M^T)^-1 より C = ((M^-1)^T)C(M^-1).
よって、(M^-1)∈G.

ここまでは、任意の C について成り立ちます。

G が群になる必要十分条件は、G の元が全て正則であること
だということになります。

そのための、C の必要十分条件って、何だろう？

C が正則であることは、十分条件になりますね。
(M^T)CM = C より (detC)(detM)^2 = detC なので、
detC ≠ 0 であれば detM = ±1 ≠ 0 になるから。

必要十分条件は、難しいな。

お礼

とてもわかりやすく書いて頂き、本当に勉強になりました。
有り難うございました。