サイコロをn回ふり1がx回以上連続で出る確率

質問

サイコロをn回ふり1がx回以上連続で出る状況が発生する確率を算出する式を教えてください。
1が出る確率はyとします。
回答は式だけでいいです。
大変お手数おかけいたしますがどうぞよろしくお願いします。

回答No.4

alice_44 · ベストアンサー

前回書きかけた、p[n] を n の式で書いてしまう方法についても、
もう少しだけ書いておきます。

No.1 さんの漸化式を借りて、q[n] = 1 - P[n] で置換すると、
q[n] = q[n-1] - q[n-x-1] (1-y)(y^x) となって定数項が消えます。
この形の漸化式の一般解は…

漸化式の q[n] を λ^x に置き換えて作った λ についての方程式
λ^(x+1) = λ^x - (1-y)(y^x)　(特性方程式と言います) の解を
λ = a0, a1, a2, …, ax と置いて、重根が無ければ、
q[n] = c0(a0)^n + c1(a1)^n + c2(a2)^n + … + cx(ax)^n
と書ける定数 c0, c1, c2, …, cx が存在する
…というものです。
定数 c0, c1, c2, …, cx の値は、
初期条件 P[0] = P[1] = P[2] = … = P[x-1] = 0,　P[x] = y^x
から求まります。

こう書くと、P[n] が n の式でアッサリ書けそうに見えるのですが、
実は、ちょっと問題があります。

特性方程式を解くとき、x+1 ≧ 5 だと、正確な解は求まらないのです。
「ガロア理論」というのがあって、5 次以上の高次方程式には
解の公式が存在しないことが知られています。
公式は無くとも、5 次以上でも解ける方程式はあるのですが、
今回の方程式は、λ を x と y の代数式では表せないものに当たります。
x と y の具体的な値を与えて、a0, a1, a2, …, ax の近似値を求め、
c0, c1, c2, …, cx も近似値を出して、P[n] の近似式を得る
ことしかできません。

また、a0, a1, a2, …, ax の内、実数解は、x+1 が奇数のとき 1 個、
偶数のとき 2 個しかなく、残りは虚数解(共役複素解)であることも、
話を面倒にしています。

お礼

どうもありがとうございます。理解できました。

回答No.3

alice_44

前回の回答に
＞ この p[0] から p[5] を出発点に、漸化式を使って
＞ p[50] まで求めてゆけばいい。
＞
＞ の求め方がわかりません。
とコメントされていたのと、

今回 No.1 さんへの
＞ P[n-1]+(1-P[n-x-1])の求め方がわかりません。
は、同じことを尋ねているのだと思います。

ふたりとも、要するに、
P[x+1] = P[x] + (1-P[0])(1-y)(y^x),
P[x+2] = P[x+1] + (1-P[1])(1-y)(y^x),
P[x+3] = P[x+2] + (1-P[2])(1-y)(y^x),
…
P[n] = P[n-1] + (1-P[n-x-1])(1-y)(y^x)
…
と繰り返して、欲しい P[n] が得られるまで続けろ
と言っているのです。

前回、パソコンのプログラムでそれを示したつもり
でしたが、BASIC は不案内でしたかね。

回答No.2

MagicianKuma

漸化式の意味がお分かりでしょうか？　有名なフィボナッチ数列　0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,・・・ を例に説明してみましょう。
この数列は、F[0]=0,F[1]=1です。それ以降は　F[n]=F[n-1]+F[n-2]　の漸化式で与えられます。F[7]まで求めてみましょう。
F[0],F[1]は分かってますから、次はn=2すなわちF[2]を求めましょう。上記漸化式から、F[2]=F[2-1]+F[2-2]=F[1]+F[0]=1+0=1
続いて、F[3]を求めます。F[3]=F[3-1]+F[3-2]=F[2]+F[1]=1+1=2 同様にして
F[4]=F[3]+F[2]=2+1=3
F[5]=F[4]+F[3]=3+2=5
F[6]=F[5]+F[4]=5+3=8
F[7]=F[6]+F[5]=8+5=13
このように出発点（今回の場合はF[0],F[1])から始めて、順々にその次その次と求めていきます。ですから
＞P[n-1]+(1-P[n-x-1])の求め方がわかりません。
の質問はピント外れなのです。これを求めるのではなく、これを使ってP[n]を求めていくのです。

お礼

どうもありがとうございます。理解できました。

回答No.1

MagicianKuma

前回の質問で、すばらしい回答がでていたと思うけれど・・・
求める確率をP[n]で表すと、
n<xの時：P[0]=P[1]=P[2]=・・・＝P[x-1]=0
n=xの時：P[x]=y^x
n>xの時：P[n]=P[n-1]+(1-P[n-x-1])*(1-y)*y^x
漸化式の形が最も簡単に表せます。漸化式でない形式（nだけの式）にするのは、高校生では無理です。たぶん大部分の大学生でも。ついでに私も。

補足

どうもありがとうございます。
P[n-1]+(1-P[n-x-1])の求め方がわかりません。
もしよろしければご教示いただけるとありがたいです。
どうぞよろしくお願いします。