物理のエッセンス 力学

質問

滑らかな水平面と曲面を持つ質量Mの台が静止している。
質量mの小球Pが速さv_0で台に飛び乗ってきた。
Pが台上最も高い位置に来た時の台の速さVを求めよ。
また、Pが上がった高さhを求めよ。

添付画像の右方向をx、上方向をyします。
Nを2方向に分解したとき、x軸方向をN_{x} ,y軸方向をN_{y}とします。
質量mの物体の加速度をa、質量MをAとします。

(1)：力の向き（ベクトル）は合ってますか？

(2)：次の式は合ってますか？
ma_{x} = -N_{x}
ma_{y} = N_{y}-mg
mA_{x} = N_{x}
mA_{y} = R-Mg-N_{y}

(3)：
運動量保存則は、(2)の1番と3番の式を連立してtで積分すれば
mv_{0} = mV + MV
となって解くことが出来るのですが、
力学的エネルギー保存則が解けません（解説と違う）。
(mv_{0}^2)/2 = (mV^2)/2 + (MV^2)/2 + mgh
のようにならないです（mghが入らない）。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

>m(d^2 x_m)/dt^2 = -M(d^2 x_M)/dt^2
>これをxで積分すると、
>(mv_0^2)/2 = (mV^2)/2 + (MV^2)/2
>mghがありません。

変形が見当はずれだし、間違ってますが、それはおいといて・・・

力学的エネルギー保存則は一般的に成り立つので
再発明するする必要なないと思います。それでも
運動方程式からダイレクトに導きたい場合は

1) m と M の運動方程式(m加速度=mへの力の総和, M加速度=Mへの力の総和)
　 を作る。
2) それぞれ速度を両辺に掛けて積分し、エネルギーに関する式にする。
3) 両者を連立して保存則を導く

という手順になります。

お礼

>変形が見当はずれだし
そこを教えて欲しいです。

ずっと手を動かしてもわからなかったので、今度はx,yに分けずに位置ベクトル？で積分してみました。見よう見まねなので間違ってるかもしれません。

質量mの物体の位置ベクトル・・・\vec{r}
m\vec{r} = \vec{N_m} + m\vec{g}
これを積分する。\vec{N_m}・\vec{r} = 0だから、
(mv^2)/2 - (mv_{0}^2) = mgh

考えれば考えるほど混乱します。
ちなみに、速度を両辺に掛けるやり方ではなく、dx=vdtを使ったやり方で計算しています。

補足

訂正です。
m\vec{r} = \vec{N_m} + m\vec{g}
ではなく、
m\vec{\ddot{r}} = \vec{N_m} + m\vec{g}
です。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

>力学的エネルギー保存則が解けません（解説と違う）。

解けませんというのはどういう意味でしょうか？

この流れなら、mv_0 = mV + MV を V で解き、

(mv_0^2)/2 = (mV^2)/2 + (MV^2)/2 + mgh

にVを代入して h を導く

となると思いますが、STOP_0xc000021aさんは
どのように解いたのでしょう？

お礼

ありがとうございます。

補足

m(d^2 x_m)/dt^2 = -M(d^2 x_M)/dt^2
これをxで積分すると、
(mv_0^2)/2 = (mV^2)/2 + (MV^2)/2
mghがありません。