同値関係になるための必要十分

質問

大学数学です。
R1,R2を集合X上の同値関係とするとき、R1・R2(記号・は合成を表わす)がX上の同値関係になるためには、R1・R2=R2・R1が成り立つことが必要十分であることを示しなさい。
よろしくお願いします。

回答No.1

kabaokaba · ベストアンサー

いちおう「関係の合成」の定義ぐらいは書くべきかもしれん．
それほどメジャーではないように思う

面倒なので
R1・R2=R
R2・R1=R'
と書こう

Rが同値関係だとする
xRyならばxR'y，xR'yならばxRyを示せばよい

xRy
yRx
yR1z，zR2x
zR2x，yR1z
xR2z，zR1y
xR'y

xR'yからxRyも同様

逆
R=R'とする

xR1x，xR2xなので xRx

xRyとする
xR'y
xR2z zR1y
zR1y xR2z
yR1z zR2x
yRx

xRy, yRzとする

xR1a aR2y yR1b bR2z
xR1a bR2z aR2y yR1b
xR1a bR2z aR'b
xR1a bR2z aRb
xR1a bR2z aR1c cR2b
xR1a aR1c cR2b bR2z
xR1c cR2z
xRz

こんな感じ
証明にするならもっと丁寧にかかんといかんよ

回答No.2

alice_44

関係の合成は、xR1・R2z ⇔ ∃y, xR1y ∧ yR2z の意味ですよね。

同値性の公理は、反射律、対称律、推移律。
このうち、
R1・R2 の反射律は、R1 と R2 それぞれの反射率から直ちに成立します。
R1・R2 の対称律は、問題の R1・R2=R2・R1 そのものです。
R1・R2 の推移律は、R1・R2 の対称律の下で証明できます。