同値関係についてです。

質問

次の命題を考えております

「集合の濃度が等しいという関係は同値関係である」

どなたかこの証明をよろしくお願いします。
（～すればいい、～参照、ではなく詳しい証明のみ受け付けさせていただきます）

回答No.4

kabaokaba

そうですなー・・・
同値「関係」といってしまうのがよくないかなー
alice_44さん，tmpnameさんに同意．
カテゴリの言葉をひっぱりださないとだめなのかな

classとかuniverseとかそこらへんの辺りの議論かなー
「～すればいい、～参照、ではなく詳しい証明のみ受け付けさせていただきます」
なんていうくらいだからね
そうなると掲示板なんかで書くのはしんどい．

ということで，なんでこんな反応を引き出しちゃってるのか
わかるかい？

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で，まあー
「超ナイーブ」で「なぁなぁ」に「証明」するんなら自明なんだよね．
まさに「すればよい」レベル．
だってねー，
反射・推移・対称をそれぞれ示せばいい．
それって，「二つの集合の濃度が等しい」ことの定義と
「全単射の性質」そのものでしょう．
これがレポートの問題とかだったら，
深いことはさておき素朴集合的な範囲の話で
きっとサービス問題でしょう

本当に「ナイーブ」ではない「詳しい証明」が知りたいなら

河田「圏論」（岩波）
マクレーン「圏論の基礎」（Springer）

あたりを「参照」かな
直接同じ命題はでてないと思うけど
「集合のあつまり」（あえて「集合の集合」とはいわない，だって集合じゃないから）を
扱うようなことへのヒントがあるように思う．

回答No.3

tmpname

残念ながらNo.1さんが正しい。naiveな集合論の世界だとその辺がはっきりしないけど。

第一、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%90%8C%E5%80%A4%E9%96%A2%E4%BF%82
にもきちんと
『ある集合 S において』二項関係~が次の性質を満たすとき、~は S の同値関係であるという。
集合の濃度の対等 "関係"、類における "関係" となる（何か辺な""がついている事に注意）
と書いてある。
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/hotel/exp1.htm は、「集合の集まり（集合族）」というものを使っているが、それがまずいことはNo.1さんの書いた通り。http://quotes.is.titech.ac.jp/math/text/01/index.html も「集合全体の集まりを, 対等という同値関係で同値類にわける」と書いてあって、それがまずいことはNo.1さんの書いた通り。
この辺は「まあnaiveな集合論ならまあいいや」みたいな感じで書いてある事が多いけど、もう一回言いますがあくまでNo1さんが正しい。

回答No.2

alice_44

自分が何を質問しているのか、
各用語の定義を確認して、
もういちど考えてみるとよい。

補足

http://ja.wikipedia.org/wiki/同値関係　　　　の例
http://www.osaka-kyoiku.ac.jp/~hiraki/hotel/exp1.htm　　の下部
http://quotes.is.titech.ac.jp/math/text/01/index.html

などなど、同じ記述はその他にもたくさんあります

回答No.1

alice_44

ダウト。
「同値関係」は、集合上の二項関係について定義されるが、
「濃度が等しい」は、全ての集合が成す集合族上で定義され、
全ての集合が成す集合族は「集合」ではない。

補足

・・・・・それが命題が誤りであることには繋がりませんよ。
もう一度考えてみてくださいね。