【数学 数列 漸化式 極限】 回答が理解できません

質問

x(n＋1)－2=(x(n)-2)^2/2x(n)-3

x(1)=3>2であるから x(2)>2, x(3)>2.....,x(n)>2

一行目から二行目に至る理由、繋がりがわりません。
一行目の式は漸化式で x(n)はn番目の項ということです。
分かりにくいと思いますが、よろしくお願いします。

回答No.4

MagicianKuma

数学的帰納法を使いましょうか。
X(k)>2 ⇒X(k+1)>2　を示します。
X(k)>2ならば、(X(k)-2)^2>0かつ(2X(k)-3)>0　なので、X(k+1)-2=(X(k)-2)^2/(2X(k)-3)>0　よって、X(k+1)>2
X(1)=3>2なので、すべてのn>=1についてX(n)>2が成り立つ。

回答No.3

MagicianKuma

x(n＋1)－2=(x(n)-2)^2/2x(n)-3

この式にn=1すなわちx(1)=2を入れると、x(2)-2=(2-2)^2/(2*2)-3=-3　よってx(2)=-1 でいきなり負になるけど？

補足

回答ありがとうございます。
X(1)=3ですのでx(2)=7/3になると思います。

回答No.2

spring135

＞x(n＋1)－2=(x(n)-2)^2/2x(n)-3

-3の意味が解りません。右辺の分子はどこまでで、分母はどこまでですか。-3の意味が解りません。

補足

ご指摘、ありがとうございます。

x(n＋1)－2=｛(x(n)-2)^2｝/｛2x(n)-3｝です。

回答No.1

MagicianKuma

x(n+1)=(x(n)-2)^2/(2x(n)-3)の間違いでは？

補足

回答ありがとうございます。
x(n＋1)－2=(x(n)-2)^2/2x(n)-3で正しいです。

回答の流れは、題意からx(n＋1)=x(n)^2－2/2x(n)-3 を導きだす。題意からx(n)は2に収束されることが予想されたのでx(n＋1)-2を計算して～不等式を導きだしてはさみうちの原理に帰着させるというものです。

よろしくお願いします。