フーリエ変換

質問

f(t)=1のフーリエ変換は範囲が指定されてない場合解けますか？

回答No.6

alice_44 · ベストアンサー

∫[-∞,∞] exp(-2πizt) dt がデルタ関数になるためには、
∫[-∞,∞] exp(-2πizt) dt が収束したり、デルタ「関数」が存在するような、
関数と積分の理論が必要だということです。それを知らなければ、
∫[-∞,∞] exp(-2πizt) dt は発散するしかありません。
また、そのような理論で現れる関数や積分は、
通常の関数や積分とは違うものだということを、ちゃんと理解する必要もあります。
とりあえず式変形ができればいいというものではない。

回答No.5

info22_

No.1です。

A#1でフーリエ変換対の定義式は3通り位あります。
(参考URL)ttp://ja.wikipedia.org/wiki/フーリエ変換
利用分野によりどれを使うか決まってきます。

F(f)のfを周波数、f(t)のtを時刻に対応させる場合の定義の場合,A#1のexpのfの符号が逆になりますのでfを-fにおきかえておいて下さい（訂正）。
つまりフーリエ変換対は以下のようになります。
フーリエ変換：F(f)=∫[-∞,∞]f(t)exp(-2πift)dt
逆フーリエ変換：f(t)=∫[-∞,∞]F(f)exp(2πift)df

こうすると以下のようになります。
f(t)=∫[-∞,∞]δ(f)exp(2πift)df
　=exp(2πift)|(f=0)
　=exp(0)=1
F(f)=∫[-∞,∞] 1*exp(-2πift)dt

以上、訂正しておいて下さい。

(参考)
次の参考URLのδ関数のフーリエ変換の所

参考URL：

http://my.opera.com/mikiOperaLink/blog/show.dml/6904611

回答No.4

uyama33

位相解析の基礎　　岩波書店　　吉田、河田、岩村　著
462ページに

あります。

超関数の話しの最後のところです。

回答No.3

noname#249717

物理学とか工学においての解はいわゆるインパルス形状。
時刻0secにおいて出力∞になる形状。
No.1さんがおっしゃってるデルタ関数（δ(t)）。

単純に数学的問題として扱うとNo.2さんのおっしゃってる通りで、積分の範囲は［-∞，＋∞］。
工学（制御工学などの実際問題）ではインパルス応答を（に）変換しないといけないこともあるのでNo.1さんのいうデルタ関数という超関数を導入するということです。

このf(t)=1のフーリエ変換は定義された公式のようなものなので、
あまり深く考えずに覚えましょう…というのが私の回答です。

回答No.2

alice_44

フーリエ変換の定義には、多少のバリエーションはあるけれど、
∫[-∞,∞] f(x) e^(-2πizx) dx とか、
∫[-∞,∞] f(x) e^(-izx) dx とか、
(1/√(2π)) ∫[-∞,∞] f(x) e^(-izx) dx とか、
そんな感じでしょう？
フーリエ級数展開とは違って、
積分範囲は [-∞,∞] で決まりなんじゃないかな。

そんな訳で、f(x) = 1(定数) に対しては、積分が発散する。
通常、フーリエ変換の対象とするのは二乗可積分な関数で、
∫[-∞,∞] 1^2 dx は発散するから、
f(x) = 1 のフーリエ変換は考えない。

回答No.1

info22_

フーリエ変換：F(f)=∫[-∞,∞]f(t)exp(2πift)dt
逆フーリエ変換：f(t)=∫[-∞,∞]F(f)exp(-2πift)df
F(f)=δ(f)(ディラックのδ関数)
とすると
f(t)=∫[-∞,∞]δ(f)exp(-2πift)df
　=exp(-2πift)|(f=0)
　=exp(0)=1
F(f)=∫[-∞,∞] 1*exp(2πift)dt
従って、f(t)=1のフーリエ変換F(f)は
　F(f)=δ(f)（ディラックのδ関数）
となります。

参考URL
ttp://ja.wikipedia.org/wiki/ディラックのデルタ関数

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ディラックのデルタ関数