中学3年・二次方程式

質問

皆さま、こんにちは。お世話になります。
どうしても、何回解いても、正解にならない問題があります。
どうかお知恵を拝借させて下さい。

(1)５X^2＋X－４＝０
(2)９X^2－３０X＋２５＝０
この2つの問題です。

どうぞ宜しくお願い致します。

回答No.5

Nakay702 · ベストアンサー

補足を拝見して知りました。

質問者様は、
aX^2+bX＋c ＝ ０ を因数分解するときの手順として、
a ＝ 1 とするために、式全体を a で割る方向で考えたわけですね。

確かにそれも１つの方法と思います。
以下にその方法による解法を示します。

(1) ５X^2＋X－４ ＝ ０
式全体を５で割ると、
X^2＋(1/5)X－４/５ ＝ ０
(X＋１){X－(４/５)} ＝ ０
∴ X ＝ －１， ４/５

(2)９X^2－３０X＋２５ ＝ ０
式全体を９で割ると、
X^2－(30/９)X＋25/９ ＝ ０
X^2－(10/３)X＋25/９ ＝ ０
{X－(５/３) } {(X-(５/３) }＝ ０
{X－(５/３) }^2 ＝ ０
∴ X ＝ ５/３

この問題 (2) について、質問者様は次のように補足していました。
“９X^2－３０X＋２５＝０　X^2の係数を１にするために９で割りました。
　X^2－30/9＋25/9＝０
　X^2－10/3＋25/9＝０として、Xの係数の1/2の2乗をくわえ
　X^2－10/3＋(10/6)^2＝-25/9＋(10/6)^2　左辺を平方根にして
　(X－10/6）^2＝-100+100/36で、私の場合０になってしまいます”と。
→どこに間違いがあったか、もうお分かりですね？

そうです。２行目が、
X^2－30/9＋25/9＝０
となっていますね。ここに間違いが起こったのでした。
この中の第2項が30/9となって、Xが抜けてしまったのでした。
これさえ間違わなかったら、その後の複雑な計算操作は、
一切不要だったのです！

以上、追加のご回答まで。

お礼

Nakav702さま、こんにちは。お世話になっております。
私がよくやってしまう、凡ミスです。ご指摘頂けて、大変有り難い思いです。
これから先も、あれやこれやと悩みながら、1歩1歩前に進んで行こうと思います。
ありがとうございました。

回答No.4

j-mayol

中３であればいわゆるたすきがけを利用した因数分解を教わっていないと思いますので
（１）は解の公式で解くのが良いでしょう。高校でこの形の因数分解を教わればそれを使うと早く解けますね。（２）は（　　）＾２の形に因数分解できるものですから中学範囲でも処理できます。
無理やり（　　　）＾２に持っていく方法を「平方完成する」と呼ぶのですが、計算力をつける練習にはなると思うのでやってみようという姿勢は良いとおもいますよ。

お礼

i-mavolさま、こんばんは、お世話になっております。
解の公式で解いた後に、どうしても公式を使わずに解いてみたくなります。
「平方完成する」ですか、この言葉知りませんでした。
計算力を付ける練習になると言うことなら、もっとたくさんの問題を
解いてみたいです。ご回答、ありがとうございました。

回答No.3

Nakay702

（１）No.1さんの書き込みを閲覧せずに回答してしまいましたが、
試験中とかではありませんね？
「どうしても、何回解いても、正解にならない」とあったので、
きっと解答は持っていて、ただ因数分解ができない状態なのだ
と考えていました。早合点だったでしょうか？

（２）aX^2+bX＋c ＝ ０を因数分解するときの手順。
a=1 の場合： かけてｃ、足すか引いてｂになる数をさぐる。
a≠1 の場合： かけてa、足すか引いてｂになり、かつ
　　　　　　　　 かけてｃ、足すか引いてｂになる数をさぐる。
（かけてa、かけてｃになるペア候補を順次組み合わせてみて、
bを満たすかどうかを吟味する。）

（３）因数分解が簡単にできそうもない場合は、「根の公式」
を利用する。
根の公式：X = (-b±√b^2-4ac)/2a

お礼

Nakav702さま、何度も済みません。はい、試験中ではありません。恥ずかしながら、因数分解をするという考えが全くなかったのです。そして、この問題は、元々は解の公式を使って解けという問題だったのですが、使わずに解いてみようとして躓いたのです。何度もご回答下さり、ありがとうございました。

回答No.2

Nakay702

> 皆さま、こんにちは。お世話になります。
> どうしても、何回解いても、正解にならない問題があります。
> どうかお知恵を拝借させて下さい。

> (1)５X^2＋X－４＝０
> (2)９X^2－３０X＋２５＝０
> この2つの問題です。

(1)５X^2＋X－４＝０を因数分解すると、
５X^2＋X－４＝(5X+5)(X-4/5)＝０
∴（答え）X=-1, 4/5

(2)９X^2－３０X＋２５＝０を因数分解すると、
９X^2－３０X＋２５＝(3X-5)^2＝０
∴（答え）X=5/3

以上、ご回答まで。

お礼

Nakav７０２さま、こんにちは、お世話になっております。
あ～、因数分解で解かれたのですね。因数分解のこと、全く頭に浮かびませんでした。
X^2の係数を1にするために、5で割ったり9で割ったりして、混乱していました。
X^2の係数が1でなくても因数分解してみることを心がけて、解いていきたいと思います。
本当に、ありがとうございました。

回答No.1

Subaru_Hasegawa

因数分解できなければ、解の公式を使って普通に解け。
あと、試行錯誤した部分を記載しましょう。それによって間違っているところを
指摘できるが、これしか記載が無ければただのカンニングに過ぎない。

お礼

ご回答、ありがとうございました。

補足

Subaru Hasegawaさま、その通りですね。(1)は解けましたので、(2)番の間違いを指摘して下さい。
９X^2－３０X＋２５＝０　X^2の係数を１にするために９で割りました。
　X^2－30/9＋25/9＝０
　X^2－10/3＋25/9＝０として、Xの係数の1/2の2乗をくわえ
　X^2－10/3＋(10/6)^2＝-25/9＋(10/6)^2　左辺を平方根にして
　(X－10/6）^2＝-100+100/36で、私の場合０になってしまいます。
どうぞ、宜しくお願い致します。