電流をも求める式で教えてください

質問

こんにちは。教えてください。
電流、電荷量、時間の関係式として、
I=dQ/dt
とあります。
この"d"とはどういう意味なのでしょか？
積分とかの意味なのでしょうか？
単純に、I=Q/tではだめな理由はなんでしょうか？

回答No.6

sanori · ベストアンサー

三たびお邪魔します。

ご質問のタイトルが「電流を求める式で」でしたね。

私が挙げた例で言えば、

Ｖ／Ｖ１　＝　１－ｅ^(-t/RC)
でしたから、
Ｖ　＝　Ｖ１・｛１－ｅ^(-t/RC)｝
ｄＶ／ｄｔ　＝　Ｖ１／ＲＣ・ｅ^(-t/RC)

よって、抵抗Ｒを流れる電流は、時刻ｔの関数として、
Ｉ（ｔ）　＝　ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ
　＝　Ｖ１／Ｒ・ｅ^(-t/RC)

この式の意味するところは、

電源Ｖ１のスイッチを入れた瞬間（ｔ＝０）においては、
電流一定のときのオームの法則と同じく、
Ｉ（０）＝Ｖ１／Ｒ
という電流が流れますが、
充電が進み、コンデンサＣの一端の電圧（＝Ｖ）がＶ１に近づくにつれて、
電流Ｉがだんだん小さくなり、
ｔ→∞　で電流Ｉはゼロに近づきます。

お礼

3回も回答いただき恐縮です。
ちょっと難しい式とかはいっていて全部は理解できてませんがどういうふに勉強すればいいか参考になりました
ありがとうございました

回答No.5

sanori

再びお邪魔します。

すみません。
最後の辺りに誤記がありましたので、以下のように訂正します。

Ｖ／Ｖ１　＝　１－ｅ^(-t/RC)

この式が意味することは、
電源Ｖ１をオンした後、Ｖは０ＶからＶ１にだんだん近づいてく、
すなわち、
ｔ＝０　　のとき、ＶはＶ１の電圧の０％
ｔ＝ＲＣ　のとき、ＶはＶ１の電圧の（１－１／2.78）×１００％
ｔ＝２ＲＣのとき、ＶはＶ１の電圧の（１－１／2.78^2）×１００％
ｔ＝３ＲＣのとき、ＶはＶ１の電圧の（１－１／2.78^3）×１００％
・・・・・
ｔ→∞　で、Ｖ／Ｖ１＝１　（満充電）　に近づく。

回答No.4

sanori

ｄは微小な値です。
ｄＱは微小なＱ、ｄｔは微小なｔです。
（０ではありません）

Ｑをｔで１回微分したものが　ｄＱ／ｄｔ　です。
微小時間ｄｔの間にＱがどれだけ変化するか、ということを表しています。

こちらの例が分かりやすいでしょうか。
物体を等加速度の直線運動（自由落下がその一例）させるとき、
ｄ^2 ｘ／ｄｔ^2　＝　ａ　　（ａは加速度、定数）

これをｔで１回積分すると、速さの式になります。
ｖ（ｔ）　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ａｔ　＋　Ｃ１
（Ｃ１は積分定数）
初速ｖ（０）（時刻ｔ＝０における速さ）をｖ0と置く、という初期条件を与えると、
Ｃ１　＝　ｖ0　なので、
ｖ　＝　ｄｘ／ｄｔ　＝　ａｔ　＋　ｖ0

さらにｔで１回積分すると、位置（距離）の式になります。
ｘ　＝　ａ・ｔ^2／２　＋　ｖ0・ｔ　＋　Ｃ２
（Ｃ２は積分定数）

出発地点の座標（時刻ｔ＝０における場所）をｘ＝０と決める、という初期条件を与えると、
Ｃ２　＝　０　なので、
ｘ　＝　ａ・ｔ^2／２　＋　ｖ0・ｔ
たぶん、ご覧になったことのある式だと思います。

最後の式を、逆にｔで微分していけば、
ｘ　＝　ａ・ｔ^2／２　＋　ｖ0・ｔ
ｖ　＝　ｘ’＝　ａｔ　＋　ｖ0
ｖ’＝　ａ

では、話を電気の方に戻しまして、

Ｖ-----／＼／＼／＼-------ＧＮＤ
　　　　　　　　Ｒ

という回路を考えます。
Ｖに流れる電荷（Ｒ、ＧＮＤに流れる電荷も同じ）をＱと置くと、
オームの法則により、
Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｖ／Ｒ
Ｑ（ｔ）　＝　Ｖ／Ｒ・ｔ　＋　Const.
時刻ｔ＝０　のときに、積算電荷Ｑ＝０として、そこからＱをカウントし始めることにすれば、
Ｑ（０）　＝　Const.　＝　０
Ｑ（ｔ）　＝　Ｖ／Ｒ・ｔ
よって、
Ｑ／ｔ　＝　Ｖ／Ｒ
つまり、抵抗だけの回路の場合には、
Ｖ／Ｒ　＝　ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｑ／ｔ
となり、ｄＱ／ｄｔでもＱ／ｔでも同じになります。
（一次関数のグラフの傾きが、区間をどのように取っても同じである、ということと同じです。）

今度は、こちらを考えてみましょう。
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｑ／ｔ　とはならない、代表的な例です。

Ｖ１-----／＼／＼／＼------(V)-------｜｜-------ＧＮＤ
　　　　　　　　Ｒ　　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ｃ

Ｖ、Ｒに流れ、Ｃの一端（電圧＝Ｖ）に溜まっていく電荷をＱと置くと、

オームの法則の式により、
Ｖ１－Ｖ　＝　Ｒ・ｄＱ／ｄｔ
コンデンサの式により、
Ｑ　＝　Ｃ・Ｖ
ｄＱ／ｄｔ　＝　Ｃ・ｄＶ／ｄｔ

よって、
Ｖ１－Ｖ　＝　ＲＣ・ｄＶ／ｄｔ

ｖ　＝　Ｖ１－Ｖ　と置けば、
ｄｖ／ｄｔ　＝　０　－　ｄＶ／ｄｔ　＝　－ｄＶ／ｄｔ
なので、

ｖ　＝　－ＲＣ・ｄｖ／ｄｔ

－ｄｔ　＝　ＲＣ・ｄｖ／ｖ
－∫ｄｔ　＝　ＲＣ∫ｄｖ／ｖ
－∫１・ｄｔ　＝　ＲＣ∫１／ｖ・ｄｖ

－ｔ　＝　ＲＣ・lnｖ　＋　定数
　＝　ＲＣ・ln（Ｖ１－Ｖ）　＋　定数

－ｔ／ＲＣ　＋　定数その２　＝　ln（Ｖ１－Ｖ）
定数その３　×　ｅ^(-t/RC)　＝　Ｖ１－Ｖ

時刻ｔ＝０において、Ｖ＝０（Ｃが全く充電されていない）という
初期条件を与えると、
定数その３　×　ｅ^(－０/RC)　＝　Ｖ１－０
なので、
定数その３　＝　Ｖ１

よって、
Ｖ１－Ｖ　＝　Ｖ１・ｅ^(-t/RC)
Ｖ／Ｖ１　＝　１－ｅ^(-t/RC)

この式が意味することは、
電源Ｖ１をオンした後、Ｖは０ＶからＶ１にだんだん近づいてく、
すなわち、
ｔ＝０　　のとき、ＶはＶ１の電圧の０％
ｔ＝ＲＣ　のとき、ＶはＶ１の電圧の（１－２．７８）×１００％
ｔ＝２ＲＣのとき、ＶはＶ１の電圧の（１－２．７８^2）×１００％
ｔ→∞　で、Ｖ／Ｖ１＝１　（満充電）　に近づく。

言い換えれば、信号Ｖ１がＶへ伝わるときの遅延時間を表します。

遅延の大小は、抵抗と容量の積ＲＣで決まるので、ＲＣ（＝τ）のことを
時定数と呼びます。
（τは、ギリシャ文字で「タウ」と読みます。）

回答No.3

ymmasayan

これは微分です。
Ｉ＝ΔＱ／Δｔ＝(Q2-Q1)/(t2-t1)
電荷の変化率が電流です。Δを極限まで小さくして０にしたときｄになり微分になります。

>　I=Q/tではだめな理由はなんでしょうか？
これは平均電流ですね。途中での電流変化を考えていません。

回答No.2

Denkigishi

IやQが常に一定値であればI=Q/tでもいいのですが、刻一刻変化している場合は、その瞬間だけを捉えた方が現象を正確に表すことになります。ｄは極めて小さいという意味を持っています。

お礼

なるほど、なんとなく分かりました
ありがとうございました

回答No.1

bko

d は微分です。
「電荷量の変化を時間で微分したものが電流値である」という意味になります。
電荷が時間に対して一定の量づつ減っていく場合は　Ｑ／ｔ　と同じ意味になりますが、一定量づつ減らない場合は割り算ではダメです。

お礼

ありがとうございます.
微分ですか。。単位時間あたりで考えればよいのですね、