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中3、√２ ｘ√２ はいくつですか？
√２ ｘ√２ は（√２ ）^2と同じで答えは２であっていますか？ √２＝1.4142 なので約 √２ ｘ√２は 約１．４２ｘ１．４２ とも言えると思うのですが、それだと ２ではなく２．０１６４になり おそらくもっと小数点を増やしても完全に答えが２になるのか疑問が残ります。 √２ ｘ√２は２で本当にいいんでしょうか？
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興味深い疑問ですね。よく， 10÷3＝0.333… だから3倍しても 0.333…×3＝0.999… で正確な1にならないのではないか，という疑問がありますが，その無理数バージョンみたいですね。 平方根の定義から √xの2乗 ＝ x とすればおしまいですが，それで疑問が解消できないからこその質問でしょうから，中学校の数学の範囲で √2ｘ√2＝2, 厳密に過不足なく2であることを示してみたいと思います。 まず，1辺の長さが1の正方形を考えます。これに1本の対角線を引きます。この対角線の長さは三平方の定理から√2ですね。これは小数で書かずこのままにしておきます。 次にその対角線を1辺とする正方形を描きます。この中には，最初に描いた正方形の半分の三角形が4個入りますね。ですから面積は正確に2，よって√2を1辺とする正方形の面積は2となり √2ｘ√2＝2 であることが示されました。お絵かきうまくいってるかな？ √2の値は数直線上のある1点ですが有限の小数で表せません。小数の表現方法に，実数を完全に正確には表せないことがあるという制約があるのです。実数を表す方法は小数だけではありません。小数よりもっと正確さを得やすく便利な表現方法は，これからだんだん習っていくと思いますが √ はその入り口です。
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- soixante
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ただの勘違い。 ＞約１．４２ｘ１．４２ じゃなくて、1.41 × 1.41 でしょ。 1.41*1.41=1.9881 桁数を増やせば 1.414*1.414=1.999396 1.4142*1.4142=1.99996164 2に近づきます。
お礼
ありがとうございました。
- j-mayol
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すごく単純に説明します。 √２は√２と表記する以外に正確に表すことのできない数です。 つまり小数点以下どれだけ増やしても絶対に√２とは同じ数にはならないわけです。 √２と違う数を２乗したって√２の２乗と同じ結果にならないのは納得できませんか？ 例えば２と２．０１は近い数字だから２乗したら等しくなるっていうのはおかしいでしょう？ 最後に√２×√２＝２にどうしてなるのかというと、そもそも２乗して２になる数を√２と定義したからです。こういう計算結果になる数を√２としようと決めるという決まりごとを先にしているので、間違いなく２になります。
お礼
ありがとうございます。 参考になりました。
- ssp2548
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√２は、1.41421356・・・以下無限につづく数である、と定義されています。 ですから、有限個の桁数で計算しても２にはなりません。 ＞おそらくもっと小数点を増やしても完全に答えが２になるのか疑問が残ります そう、１万桁、１億桁、１兆桁にしても２にはなりません。 こういう数のことを無理数といいますが、不思議なことに無理数であっても、 数直線上の、ある１点なのです。幾何的には二等辺直角三角形の長い辺の長さ※です。 ※無理数wikiを見てください。 おまけ √２は、別の書き方をすると、2^(1/2) つまり、2の(1/2)乗です。 よって、指数計算の公式により、 √２×√２= 2^(1/2)×2^(1/2) = 2^((1/2)+(1/2)) = 2^1 = 2 となります。
お礼
もっと勉強するといろいろ別の見方ができそうですね。 ありがとうございました。
- alice_44
- ベストアンサー率44% (2109/4759)
＞ ということは ＞ √２×√２ ＞ の回答は２ではなく２に近い数字ということになりませんか？ 話が逆です。 √2 ≒ 1.4142, √2 ≒ 1.41421, √2 ≒ 1.414213, √2 ≒ 1.4142135, … と桁数を増やしていっても、有限小数で近似する限りは あくまで ≒ であって、√2 と ＝ にはならないから、 小数近似の二乗を計算しても (√2)^2 と ＝ にはならない ということです。 (無理数は、有限小数では書ききれないということ。) √2 の二乗は 2 であり、 √2 に近い数字の二乗は 2 に近い数字になる と言えばいいかな？
お礼
ありがとうございます。 質問してみてよかったです、参考になりました。
- bgm38489
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√２は、２回掛け合わせたら２になるという数のことです。この数は、いくら小数点を増やしても、求まりません。 1/3も、小数で表せば、0.33333…ですが、これに３をかけても、小数で考えれば、１にはなりませんね？これと同じことです。 分数の場合は、同じ並びの数が繰り返されて出てくるため、何番目の数は何なのか予想がつきますが、√２などは予想がつきません。前者を有理数、後者を無理数といいます。 もっとも―以下は、中学生は話半分に聞いといて― 別の考え方では、√２は数そのものをあらわすのではなく、２の平方根を求める手順そのものをあらわすのだ、というものもあります。そこでは、1.4*1.4、1.41*1.41、1.414*1.414…となり、答えは永遠に２にはならない。君の今の考えに近い。約1.41とすべきだけどね。そもそも、数でないものを掛け合わすことなど、できっこないのだ、ともいえます。 √２を数とみなすものを実無限、手順とみなすものを可能無限といいます。 詳しくは、以下「無限論の教室」を参照。高校受験が終わったら、読んでみてください。大学レベルだけど。 http://www.amazon.co.jp/%E7%84%A1%E9%99%90%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%95%99%E5%AE%A4-%E8%AC%9B%E8%AB%87%E7%A4%BE%E7%8F%BE%E4%BB%A3%E6%96%B0%E6%9B%B8-%E9%87%8E%E7%9F%A2-%E8%8C%82%E6%A8%B9/dp/4061494201
お礼
少数で表すと２にならないのにルートで表すと２になるって不思議ですね。 ありがとうございました。
- tadys
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＞√２ ｘ√２ は（√２ ）^2と同じで答えは２であっていますか？ あってますよ √２というものは、２回掛けると２になるなにものかですから ＞√２＝1.4142 なので これが間違い 1.414 ＜ √２ ＜ 1.415 ー＞ 1.999396 ＜ （√２ ）^2 ＜ 2.002225 1.4142 ＜ √２ ＜ 1.4143 ー＞ 1.99996164 ＜ （√２ ）^2 ＜ 2.0002449 の様に桁数をどんどん増やせば、限りなく２に近づきます ただし、桁数をどれだけ増やしても２に一致する事は有りません √２ を 小数点以下15360桁まで計算した例はこちらに、 http://www.usamimi.info/~geko/arch_pro/0x003_calculation/0-3alpha7/sqrt2-10000.html √２ を 計算する方法はこちらに http://www.hamadajuku.com/column/math/sqrt.aspx http://homepage3.nifty.com/funahashi/suugaku/suu03.html
補足
＞ただし、桁数をどれだけ増やしても２に一致する事は有りません ということは √２ｘ√２ の回答はは２ではなく２に近い数字ということになりませんか？？
お礼
ありがとうございます。 よく、理解出来ました。 助かりました。