袋から玉を取り出す確率の問題

質問

1,2,3,4,の記号のついた玉が1個ずつ計4個入っている袋から、玉を1個づつ取り出して元に戻すことを繰り返し、1,2,3,4の玉を全て取り出したら、この試行を終わることにする。5回目では終わらない5回の取り出し方は何通りあるか。

上の問題で5回目で終わる取り出し方は144通りと分かっております。

次に4回目で終わるようなものは、4回目までが1,2,3,4の順列で5回目は１～４のどれでも良いから
４！*４=96通り。

よって4^5-144-96=784通り
が答えになっています。

4回目で終わる時、4回目までが1,2,3,4の順列で４！というのはわかるのですが、
１～４まで全て出切っているので試行を辞めるはずなのになぜ5回目に何が出るかを
考える必要があるのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

j-mayol · ベストアンサー

どうやら計算過程を見ると「５回目では終わらない取り出し方」を
数えるのではなく「５回目までには終わらない取り出し方」を数える問題のようですね。

５回目で終わる取り出し方は４回目までに同じ数字が２つとそれと異なる数字が2つ出て
５回目に残りの数字が出ればいいので１４４通りで間違いないです。

次に4^5ですがこれには４回目で終わる場合も５回目で終わる場合もすべて数えられています。
つまり例を挙げれば12341　12342　12343　12344・・・という出方すべてを含んでいるわけです。
そうすると４回で終わった場合を引く際に４！を引いただけでは足りないことになりますね。
（４回目までが1234となった場合でも５回目が1,2,3,4となる場合すべてを数えているから）
したがって解答のような式となるわけです。

お礼

理解できました！ありがとうございました！

回答No.2

asuncion

＞1,2,3,4の玉を全て取り出したら、この試行を終わることにする。

ああ、4回目で終わったらそこで試行をやめてしまうんでしたね。
そうすると、先ほどの私の回答は的外れなものであったことになります。

回答No.1

asuncion

＞5回目では終わらない5回の取り出し方

「5回目では終わらない」という意味の中に
うっかり4回目で終わってしまった場合のことを
含めているのでありましょう。

ところで、この問題は確率の問題ではありません。
場合の数の問題と混同されていませんか？