袋から玉を取り出す

質問

赤玉5個、青玉4個、白玉3個が入った袋がある。ここから、1個ずつ3回玉を取り出す。ただし、取り出した玉はもとに戻さず、次の玉を取り出すものとする。このとき、次の確率を求めよ。

(1)すべて同じ色となる確率
(2)すべて異なる色となる確率
(3)1回目に取り出される玉の色と3回目に取り出される玉の色が異なる確率

お手数おかけしますがよろしくお願いします。。

回答No.5

noname#222520

補足に対する追加回答です。

確率を求める場合には、順列を基にして考えても組み合わせを基にして考えてもどちらでもいいので、(1)と(2)は組み合わせを基にして考えました。
なお、確率を分数で表す場合、分母を順列で考えれば、分子も順列で考えなければならず、分母を組み合わせで考えれば、分子も組み合わせで考えなければなりません。
また、この質問の場合、玉の色が3種類あるので、次の関係が成り立ちます。
（順列）/3！=（組み合わせ）
これから、（順列）=（組み合わせ）*3！
よって、順列を基にして考えた場合、分母と分子に3！が出てくるので、これで約分すると、結局は組み合わせを基にして考えることになります。

赤玉5個、青玉4個、白玉3個が入った袋から、1個ずつ3回玉を取り出す場合、「すべて同じ色となる」「すべて異なる色となる」「2個は同じ色で他の1個は異なる色となる」の3通りの場合しか起こり得ません。
そして、既に回答したように、合計5+4+3=12個の玉から3個を選ぶ選び方は、12C3=220通り
また、「すべて同じ色となる」のは、5C3+4C3+3C3=10+4+1=15通り
（4C3=4C1=4、3C3=1は、組み合わせで考えると、暗算レベルで求められます。）
さらに、「すべて異なる色となる」のは、5*4*3=60通り
よって、「2個は同じ色で他の1個は異なる色となる」のは、220-15-60=145通り
ここで、例えば『赤1赤2青1』の並び方（順列）を考えると、次の6通り
『赤1赤2青1』『赤1青1赤2』『青1赤1赤2』『赤2赤1青1』『赤2青1赤1』『青1赤2赤1』
このうち、「1回目に取り出される玉の色と3回目に取り出される玉の色が異なる」のは、次の4通り
『赤1赤2青1』『青1赤1赤2』『赤2赤1青1』『青1赤2赤1』
これから、全体としては、145*4=580通り（145*3！とはならないことに注意）
「すべて異なる色となる」場合には、「1回目に取り出される玉の色と3回目に取り出される玉の色が異なる」ので、60通りを順列の考え方に戻すと、60*3！=360通り

以上から、(3)の答えは、(580+360)/(12*11*10)=940/1320=47/66
（分子を順列で考えているので、分母も順列で考えます。）

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。これからもよろしくお願いします。

回答No.4

smash27

#1の補足です。

5×4×3の意味ですが、赤5つのうちから1つ、青4つのうちから1つ、白3つのうちから1つ出るということを表しています。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありませんでした。参考になりました。これからもよろしくお願いします。

回答No.3

noname#222520

ANo.2の補足です。

確率を求める場合には、順列を基にしても組み合わせを基にしてもどちらでもいいのですが、(3)については、順列の考え方をしないと難しいかと思われます。
自分も、(3)では順列を基にした考え方に修正しました。
なお、(3)の確率を求めるためには、(1)と(2)の結果を活かした方が、効率的であると考えられます。
おそらく、質問の趣旨もそうであると思われます。

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。これからもよろしくお願いします。

補足

何度も申し訳ありません。
(3)も詳しく教えてお頂けると助かります。
とお願いしましたが詳しくは
この145通りは組み合わせであるから、例えば『赤赤青』で『赤』と『赤』が入れ替わった場合の2通りの区別と、『赤赤青』『赤青赤』『青赤赤』の間の3通りの区別は付きません。
このうち、1回目に取り出される玉の色と3回目に取り出される玉の色が異なるのは、『赤赤青』『青赤赤』の2通りになります。（『赤青赤』の1通りは除きます。）
よって、全体としては、145*2*2=580通り
あたりがわかりません。

特に『赤青赤』の1通りは除きます。のところです。よろしくお願いします。

回答No.2

noname#222520

順列と組み合わせの問題の場合には、同じ色の玉に区別が付かないものと考えますが、確率の場合には、同じ色の玉に区別が付くものと考えます。
例えば、赤玉5個を赤1、赤2、赤3、赤4、赤5とすると、『赤1赤2赤3』と『赤1赤3赤2』は同じ組み合わせになりますが、『赤1赤2赤3』と『赤1赤2赤4』は別の組み合わせになります。

(1)
合計12個の玉から、3回玉を取り出す取り出し方は（順番は無関係）、
12C3=220通り
すべて同じ色となる取り出し方は、赤玉3個のとき、5C3=10通り
また、青玉3個のとき、4C3=4通り
さらに、白玉3個のとき、3C3=1通り
よって、求める確率は、(10+4+1)/220=15/220=3/44

(2)
すべて異なる色となるのは、
5*4*3=60通り
よって、求める確率は、60/220=3/11

(3)
(1)から、すべて同じ色となる取り出し方は、10+4+1=15通り
(2)から、すべて異なる色となる取り出し方は、5*4*3=60通り
これから、2個が同じ色で1個が異なる色となる取り出し方は、220-15-60=145通り
この145通りは組み合わせであるから、例えば『赤赤青』で『赤』と『赤』が入れ替わった場合の2通りの区別と、『赤赤青』『赤青赤』『青赤赤』の間の3通りの区別は付きません。
このうち、1回目に取り出される玉の色と3回目に取り出される玉の色が異なるのは、『赤赤青』『青赤赤』の2通りになります。（『赤青赤』の1通りは除きます。）
よって、全体としては、145*2*2=580通り
（ここでは、単なる組み合わせを考えません。）
また、すべて異なる色となる場合も、1回目に取り出される玉の色と3回目に取り出される玉の色が異なるので、これも考え併せると、580+60*3！=580+360=940通り
（同様に、60*3！を単なる組み合わせとは考えません。）
ここで、確率を求めるためには、全体を220*3！=1320通りと考える必要が出てきます。
（同様に、220*3！を単なる組み合わせとは考えません。）
以上から、求める確率は、940/1320=47/66

お礼

(3)も詳しく教えてお頂けると助かります。

補足

すべて異なる色となるのは、
5*4*3=60通り
よって、求める確率は、60/220=3/11
というところをもう少し詳しくは教えていただけると助かります。

回答No.1

smash27

懐かしい問題ですね。小学校の頃よくやらされていたのを思い出します。

自分でやった方がいいとは思いますが回答します。

まず、12個球があるので全部で12×11×10=1320通りの出方があります。

(1)すべて同じ色になる場合は、
赤5×4×3=60
青4×3×2=24
白3×2×1=6
合計90通りです。

90/1320ってことですね。約分とかは自分でやってください。

(2)すべて異なる色になるのは、赤青白から1つずつということなので、
5×4×3=60
赤青白とか、青赤白とか、順番も入れ替えられるので、
60×6=360
ですね。あとは(1)と同じようにしてください。

(3)1回目と3回目の色が異なるということは、2回目はどうでもいい。ただ、2回目が何色かによって、3回目に残される「異なる色」の数は変わってくるので、「2回目に1回目と同じ数が出る出方」+「違う数が出る出方」をする必要はありますね。

1回目が赤のとき、
5×4×7+5×7×6=140+210=350
1回目が青のとき、
4×3×8+4×8×7=96+224=320
1回目が白のとき、
3×2×9+3×9×8=54+216=270
すなわち、940通り。これもあとはご自分で。

というようなのでいかがでしょう？

お礼

お礼が遅くなり申し訳ありません。これからもよろしくお願いします。

補足

すべて異なる色となるのは、
5*4*3=60通り
よって、求める確率は、60/220=3/11
というところをもう少し詳しくは教えていただけると助かります。