教えてください！

質問

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4464754.html
で一度聞いた問題の続きなのですが
(１)(２)があって(１)は解けたのですが、
(２)が解けないので教えてください。
そして(１)も間違えていたら訂正していただきたいです。

a,b,cは0でない実数とする。
Oを原点とする座標空間に３点A(4,-2,1),B(2,-4,1).C(-2,4,-1)
があり、線分BCの中点は原点となっている。
→AB・→AC＝0である。

(1)点Aを通り→u=(1,1,1)に平行な直線上に点Pがある。
→OP=→OA+t→u(tは実数)とすると
→BP=(2+t,2+t,t),→CP=(6+t,-6+t,2+t)であり、
→BP・→CP=0を満たすtの値はt=0,-2となる。
またt=-2のとき、｜→OP｜=√21　となる。

(2)点Aの通り、→ｖ=(1,y,z)に平行な直線上に点Qがあって、
→BQ・→CQ=0を満たすとする。
このような条件を満たす点Qがただ１つだけ存在するための
y,zの条件はz=(テ)y-(ト)である。

→はベクトルです。

回答No.1

info22 · ベストアンサー

最初に〆切済みの
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4464754.html
の訂正をしておきます。
>内積(→AB)・(→AC)=2*(-2)+(-4)*4+1*(-1)=-4-16-1=-21
で、A(4,-2,1),B(2,-4,1),C(-2,4,-1)から
(→AB)=(→OB)-(→OA)=(2,-4,1)-(4,-2,1)=(-2,-2,0)
(→AC)=(→OC)-(→OA)=(-2,4,-1)-(4,-2,1)=(-6,6,-2)
内積(→AB)・(→AC)=(-2)*(-6)+(-2)*6+0*(-2)=0

(1)
>→OP=→OA+t(→u)
=(4+t,-2+t,1+t)
>→BP=(2+t,2+t,t)
→BP=(→OP)-(→OB)=(4+t,-2+t,1+t)-(2,-4,1)=(2+t,2+t,t)
合っていますね。

>→CP=(6+t,-6+t,2+t)であり、
→CP=(→OP)-(→OC)=(4+t,-2+t,1+t)-(-2,4,-1)=(6+t,-6+t,2+t)
合っていますね。

>→BP・→CP=0を満たすtの値はt=0,-2となる。
(→BP)・(→CP)=(2+t)(6+t)+(2+t)(-6+t)+t(2+t)=3t(t+2)=0
t=0,-2
合っていますね。

>またt=-2のとき、｜→OP｜=√21　となる。
→OP=(→OA)+t(→u)=(4,-2,1)+(-2)(1,1,1)=(2,-4,-1)
｜→OP｜=√(2^2+4^2+1^2)=√(4+16+1)=√21
合っていますね。

(2)

→OQ=(4,-2,1)+s(1,y,z)=(4+s,-2+ys,1+zs)
→BQ=(→OQ)-(→OB)=(4+s,-2+ys,1+zs)-(2,-4,1)=(2+s,2+ys,zs)
→CQ=(→OQ)-(→OC)=(4+s,-2+ys,1+zs)-(-2,4,-1)=(6+s,-6+ys,zs+2)
(→BQ)・(→CQ)=(2+s)(6+s)+(2+ys)(ys-6)+zs(zs+2)
=s{s(y^2+z^2+1)+2(z-2y+4)}=0
s=0,s=2(2y-z-4)/(y^2+z^2+1)
→OQ=(4,-2,1)+s(1,y,z)=(4,-2,1)ですから
点Qがただ１つだけ存在するための条件は
s=0以外の解が存在しないことです。
つまり、
s=2(2y-z-4)/(y^2+z^2+1)=0
であること。このことから
(2y-z-4)=0
つまり,z=-2y+4

お礼

本当にありがとうございます。
めちゃくちゃ助かりました。