3次式 8*x^3-6*x+1 の因数分解

質問

3次式 8*x^3-6*x+1 を因数分解した結果を教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.4

staratras · ベストアンサー

8*x^3-6*x+1…(1)

係数を有理数に限定すると上式の因数分解は無理だと思いますが、
係数を実数の範囲まで広げれば、以下のように因数分解できるのではないでしょうか。

(1)=0 とし、これをxについての3次方程式と見て解く

x=cosα　とおく　（0≦α≦π）
8cos^3α-6cosα+1=0　…（２）

ここで3倍角の公式ｃｏｓ3α=4cos^3α-3cosα　より　
8cos^3α=2cos3α+6cosα　これを(2)へ代入すると
2cos3α+1=0 cos3α=-1/2 0≦3α≦3π　より　　
3α=2/3π　3α=4/3π　3α=8/3π　したがって
α=2/9π　α=4/9π　α=8/9π

よって（１）は
8*x^3-6*x+1=8（ｘ-ｃｏｓ2/9π)(x-cos4/9π）（x-cos8π/9)

三角関数を使えばこのようになりました。

（x=cosαとおくと、-1≦x≦1　の値しかとれませんが、y=8*x^3-6*x+1のグラフを見ると
（1）=0　とおいた3次方程式の3実数解はすべてこの範囲内にあることがわかります）

回答No.3

metabolian

f(x)=8x^3-6x+1 ・・・(1) とすると、
f’(x)=24x^2-6 =6(2x+1)(2x-1)
f''(x)=48x

増減表を書くと、f'(x)=0 ⇒ x=-1/2、1/2で
それぞれ極大値3・極小値-1をとり、
f''(x)=0 ⇒ x=0で
変曲点を持つことがわかります。

これを踏まえてグラフを書くと、
f(x)はx軸と3つの点（α，β,γ）で交わることがわかります。（α,β,γ ≠0)

そこで、f(x)=8(x-α)(x-β)(x-γ)とおいて右辺を展開すると、
f(x)=8{x^3-(α+β+γ)x^2+(αβ+βγ+γα)x-αβγ}・・・(2)

(1)と(2)の係数を比較すると・・・
α+β+γ=0
αβ+βγ+γα=-3/4
αβγ=-1/8

回答No.2

spring135

＃1へ

少なくともx^3の係数が合いません。

回答No.1

info22_

8*x^3-6*x+1
=(x+sin(7π/18))(x-cos(2π/9))(x-sin(π/18))