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棒が釣り合う条件
半径がaの空洞の半球があります。 この半球の空洞側を上にして、机の上に固定します。そして、半球の淵に2sの長さのまっすぐで均一な棒を半球の直径上に置きます。もし、棒の中心(重心)が半球の外側にあったら 、棒は半球の外側に滑り落ちます。 ここで、問題ですが、この棒が半球の淵にとどまり、棒の端が半球の内側に引っかかり、バランスがとれる時、aとsの関係を求めて下さい。 棒の端と半球の内側の面との摩擦は0とします。
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淵に掛かった状態になっているとき、添付図の様になっていたとします。 棒に掛かる力の釣り合いの条件から 棒に平行な方向の釣り合いから Ｔ・cosθ＝Ｗ・cosδ ２つの角度には δ＝90°－θ の関係があるので Ｔ・cosθ＝Ｗ・cos(90°－θ)＝Ｗ・sinθ ∴Ｔ＝Ｗ・tanθ 式（ア） 棒に垂直な方向の釣り合いから Ｆ＋Ｔ・sinθ＝Ｗ・sinδ Ｆ＋Ｔ＝Ｗ・cosθ 式（ア）を適用すると Ｆ＝Ｗ・(cosθ－tanθ) 式（イ） Ａ点のまわりのモーメントの和＝０ より Ｗ・ｓ・cosθ＝Ｆ・ｂ △ＯＡＢが二等辺三角形なので ｂ＝ＡＢ＝２・(ａ・cosθ) が成り立つので Ｗ・ｓ・cosθ＝Ｆ・２・(ａ・cosθ) ∴Ｗ・ｓ＝２・Ｆ・ａ 式（ウ） 式（イ）,（ウ）より、ｓ，ａ，θ の関係式を求めることができます。 でも、これってかなり面倒ですよね。そこで、見方を変えてみましょう。 以下は、別解法です。 棒が安定しているということはどのようなことでしょうか？ それは、重心位置が、可能な範囲内で、最も低い位置に在る、ということです※。 ※ 棒の、重力による位置エネルギーが最小になるということです。重力空間で、物体が最も安定するのは、重力による位置エネルギーが最小になっているときです。 添付図で言うと、ｈが下向きに最大となる条件を求めれば良いということです。 実際の計算に移る前に、いろいろイメージしてみましょう。 棒が水平方向とのなす角度θは、(何も考えなければ)０°以上９０°以下になります。 θ＝０°のときには、重心位置はＢの高さに在ります。 θ＝９０°のとき（これは、Ａ端がＢの位置に来て、それが棒の下端となることですから)ＧはＢよりｓだけ高い位置になります。 ０＜θ＜９０° では、添付図の例の様に、Ｇは明らかにＢより下にくることがありえるはずです。 ということで、棒の傾きθによってｈは最大値を取るはずだということです。 ｈ＝(ｂ－ｓ)・sinθ ですから ｈ＝(２・(ａ・cosθ)－ｓ)・sinθ 変数はθのみですから、ｈはθの関数です。ｈが最大値を取るための必要条件は dｈ/dθ＝０ です。 つまり ０＝(２・ａ・cosθ－ｓ)・cosθ＋sinθ・(－２ａ・sinθ) ＝４ａ・(cosθ)^2－ｓ・cosθ－２ａ この２次方程式を解くと cosθ＝(ｓ±√(ｓ^2＋32ａ^2))/(8ａ) ０＜cosθ＜１ でなければなりませんから cosθ＝(ｓ＋√(ｓ^2＋32ａ^2))/(8ａ)＜１ ∴２ａ＞ｓ 式（エ） これは、質問者さんが書いておられた条件の１つです。 また、ＧがＢを超えて半球の淵の外に来てはいけないので ｂ＞ｓ も必要な条件です。これより ２・ａ・cosθ＞ｓ これに cosθ＝(ｓ＋√(ｓ^2＋32ａ^2))/(8ａ) を代入して整理すると ｓ＞ａ・√(2/3) 式（オ） （エ），（オ）より ２ａ＞ｓ＞ａ・√(2/3) となります。
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