合同式？

質問

合同式というものを見つけたのですが、いまいち良く意味がわかりません。
分かりやすく解説していただけないでしょうか。
出来るだけ数字や文字なんかを使わないで解説していただけたら嬉しいです。
それと、合同式は大学入試では問われるのですか?

回答No.3

the-theorier

整数a, b の差 a-b が整数m(m＞1)の倍数であるとき、

a≡b (mod m)

と書いて、「aとbは(法mに関して)合同である」と言います。

つまり、差がその数(ここではm)の倍数になるなら、aとbはmod mという「世界」では同じと「みなす」ことが出来ます。

因みに上で0≦b＜mと制限すると、bはいわゆる「aをmで割った余り」に相当するわけです。

通常は、例えば1-(-5)=6=3*2なので

1≡-5 (mod 3)

などと出来るんですが、「余り」に拘り過ぎると上の式が説明出来ないんですね。
まぁ細かい話です。

上の例では、普通の等式関係では1と-5は別の数ですが、mod 3の世界では同じ…と言う感じです。

他にも挙げると、2-23=-21=7*(-3)なので、

2≡23 (mod 7)　…(1)

です。

これを曜日で例えてみましょう。

日曜日を0、月曜日を1、…土曜日を6、とし、(1)にある2や23がある月の日付だとします。

すると(1)の意味するところは、「2日と23日が同じ曜日(因みにこの例だと火曜日)」を意味しています。

2日と23日は、全く別の日ですが、曜日としては同じですよねw

こんな感じで、合同式は日常でも当たり前に使っている考え方です。

普通、余りは、例えばa,bに対して

a=bq+r　(0≦r＜b)

なるrのことを言いますが(因みにこのようなq,rの組は唯一つであることも分かります)、これを変形すると

a-r=bq

、つまり「a-rがbの倍数」ですね。

正しいかどうかは分かりませんが、合同式の定義はここから来ているんだと思われます。

大学入試への対応は今年か来年入学するかで別れたと思います。
センターなどの筆記でないケースなら大いに使っても良いでしょう。
慣れれば整数問題で非常に強力な道具の一つとなります。

お礼

ありがとうございます。

回答No.2

kesexyoki

No.1さんに2点補足です。
(1)moduleではなく、moduloだと思います。（普通は省略して、modのみ書きます。）

(2)大学入試についてですが、少なくとも現高2以上の生徒さんであれば、現役で大学入試を受験する場合は出ません。
場合によっては、合同式を使うと楽になる問題はあるかもしれませんが、知らなくても解けるものばかりだと思います。
現高1から、「整数」分野が新課程として導入されました。ただ合同式は、教科書によっては載っていなかったり、また節の後ろに載っていたりですね。
今まで以上に合同式を用いた方が楽になる問題が出る可能性は高くなるのではないかと思いますが、如何せん新課程移行期なので何とも言えません。

お礼

ありがとうございます。

回答No.1

very-best

合同式とは、「a≡b (module n)」を言葉で書くと、「nを法としてaとbが合同である。」ですが、これは簡単に言うとaをnで割った余りとbをnで割った余りが同じ、ということです。
例えば、7を3で割った余りは1で10を3で割った余りも1なので、「7≡10 (module 3)」または「3を法として7と10は合同である。」と言えます。

お礼

ありがとうございます。