合同式 解き方

質問

こんにちは、まだ中学生なのですが学校で合同式の問題が出ました。
しかし、解説も今一よく分からなかったので何方か簡単な合同式を使って解説をして頂けませんか。

回答No.1

eclipse2maven · ベストアンサー

合同式といのは、　本来はいろんな情報があってごちゃごちゃしてるんだけど、そのいらない情報を捨てることによって、知りたいことを見やすくするツールかな。

普通の整数は　負の数もふくめ　ー３とか　５　とか　そこで　例えば　５の余り　だけをみる、つまり　余り以外の情報を捨て去る

１≡6 ≡-4 5≡0≡ー10　　とかです。　（普通は　　1≡6　mod(5) とか　書くけど　今は省略するね）

この情報を落とした世界で　足し算とか掛け算　引き算　割り算も可能

1+4≡5≡0　　2*3≡6≡1

とかね

例えば　２の7乗と３の７情を　足した数が5 で割れるか？　を普通に整数で計算するのは大変。
実は、　２のn乗と３のn情を　足した数は　n が奇数だったら　いつでも5 割りきれる。

まじめに整数でいうのは、しんどそう、で　５の余りだけ見よう。　５で割りきれる　合同式で　０に等しいって言えばいい。　　２の7乗と３の７情を　足した数が5 で割れる　だったら

2^7 + 3^7　≡　0 mod (5)　を言えばいい

　^　は　べき　だから　2^7は　2の7乗　

さて　3 ≡-2 だから　　＊で掛け算をあらわすと

　　　　2^7 + 3^7　
　　　　≡ 2^7+ (-2)^7
　　　　≡　 2^7 + (-1)* 2^7
　　　　≡　(1+(-1)) * 2^7
　　　　≡ 0 *2^7　
　　　　≡　0

したがって　2^7 + 3^7　は　５で割りきれた。

n のときも　　

　　　　2^n + 3^n　
　　　　≡ 2^n + (-2)^n
　　　　≡　 2^n + (-1)^n * 2^n
　　　　≡　(1+(-1)^n) * 2^n
　　　　≡0*　2^n　
　　　　≡　0

　　　（　^　は　べき　だから　2^nは　2のn乗　　　　　　＊は掛け算）

だから　簡単にできてしまう。　情報を落とすことによって、　簡単に照明が出来てしまう。

お礼

予想以上に分かりやすく教えて戴きありがとう御座います!!
とても役に立ちました♪