波動方程式における変数分離法について
まずu(x,t)の1次元波動方程式{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}について
ここでもし、u(x,y)がxの関数X(x),Tの関数T(t)の積u(x,y)=X(x)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。
まずu(x,y)=X(x)*T(t)を代入すると、
{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*{((∂^2)u)/(∂x^2)}はX*(T'')=(v^2)*(X'')*Tとなり、
これを(v^2)*X*Tで割ると{T''/(v^2)*T}=(X''/X)となる。
この式の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない。そしてこの定数AについてA<0が成り立つ。
次にu(x,y,t)の2次元波動方程式
{((∂^2)u)/(∂t^2)}=(v^2)*[{((∂^2)u)/(∂x^2)} + {((∂^2)u)/(∂x^2)}]についても同様にu(x,y,t)がxの関数X(x),Yの関数Y(y),Tの関数T(t)の積X(x)*Y(y)*T(t)で表すことができればこの微分方程式を解くことができる。
u(x,y,t)=X(x)*Y(y)*T(t)を上の2次元波動方程式に代入すると、
X*Y*T''=(v^2)*[{(X'')*Y*T}+{X*Y*(T'')}]となり、
この両辺を(v^2)*X*Y*Tで割ると、{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}となる。
この式の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとなる必要がある。そしてA<0でなければならない。
※以上が変数分離法による1次・2次波動方程式を解く手順ですが、まず1次について「{T''/(v^2)*T}=(X''/X)の左辺はTのみの式、右辺はXのみの式なのでこの式が任意のx,tで成り立つためには{T''/(v^2)*T}=(X''/X)=定数Aとならなければならない」というのは一体どういう意味なのでしょうか？
もし左辺がXのみの式でなかったら、例えばXとYの式だったら=定数Aとはおけないのでしょうか？
同じく2次の場合についても、「{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}の左辺はtのみ、右辺はxとyの式なので、この式が恒等的に成り立つためには{(T'')/((v^2)*T)}={(X'')/X}+{(Y'')/Y}=定数Aとならなければならない」とありますが、これもどういう意味なのでしょうか？ 詳しいかた教えてください。お願いします。
