数学

質問

次の2重積分を教えてください。

∬D(2x^2+y^2)dxdy D={(x.y)|-1≦x+y≦1、-1≦2x-y≦2}

回答No.1

info22_

x+y=u,2x-y=vとおくと
x=(u+v)/3,y=(2u-v)/3
|J|=1/3
(2x^2+y^2)dxdy=(1/9)(2(u+v)^2+(2u-v)^2)|J|dudv
=(1/9)(2u^2+v^2)dudv
D ⇒ E={(u,v)|-1≦u≦1、-1≦v≦2}
であるから

∬_D(2x^2+y^2)dxdy=(1/9)∬_E (2u^2+v^2)dudv
重積分を累次積分で表すと
=(1/9)∫[-1,2]dv∫[-1,1](2u^2+v^2)du
=(1/9)∫[-1,2]dv 2∫[0,1](2u^2+v^2)du
=(2/9)∫[-1,2]dv[(2/3)u^3+uv^2][u=0,1]
=(2/9)∫[-1,2]((2/3)+v^2)dv
=(2/9)((2/3)(2+1)+[v^3/3][-1,2])
=(2/9)(2+(8/3)+(1/3))
=10/9