最短経路の問題（場合の数・順列）

質問

極めてオーソドックスな最短経路の問題なのですが、数学から離れて久しいので、問題や、解答の本質を忘れていて困っています。

例えば縦３横５の四角形があるとき、左下のＡ地点から、右上のＢ地点まで行く最短距離は、
８Ｃ３＝８！/３！×５！となるとあるのですが、
(1)この分子の８！＝８×７×・・・・・・・１はいったい何を意味しているんでしょうか。何故掛け算するのですか。この式だけで何を表しているのでしょうか。

(2)８Ｃ３とはどういう意味でしょうか。それが何故８！＝３！×５！と同じ意味になるのですか。

(3)同じく分母の３！×５！は何を表していますか。また、分子を分母を除する意味は何ですか＞＜
以上どなたかわかりやすく教えていただければ幸いです。お願いします。

回答No.3

ushitsukai · ベストアンサー

私も同様に数学から離れて久しいというクチなので、
記憶をたどって順を追って説明すると、

（１）８！（８の階乗）は、例えば１～８までの番号がついたボールを
中が見えない袋（箱）に入れて、１個づつ引いていき、引いた順番に
並べた時何通りあるかということです。
最初は８個入っているので８通り、引いていくごとに中身は減っていくので、
７通り・６通り……２通り・１通りとなり、そのすべてを乗じた
８×７×６×５×４×３×２×１＝４０３２０通り
あるということになります。

（２）８Ｃ３（コンビネーション）の前に１つ覚えてほしいのですが、
８Ｐ３（パーミネーション）という記号があり、これは（１）と同様の
説明をすると、８個の中から３個のボールを引いて、順番に並べた時
何通りにあるかということです。
つまり、８通り×７通り×６通り＝３３６通りということです。
記号を使って説明すると、
８Ｐ３＝８！／（８－３）！
　　　＝８！／５！
ということです。
ここで、例えば引いたボールの数字が１，２，３であったとして、
引いた順番によって
［１，２，３］［１，３，２］［２，１，３］［２，３，１］［３，１，２］［３，２，１］
の６通り（３！通り）あるのですが、
８Ｐ３の計算では、これらはすべて異なった引き方と考えています。
８Ｃ３ではこれらをすべて同じ引き方と考えるため、
３３６通りを６通りで割って５６通りとなります。
つまり、８Ｃ３＝８Ｐ３／３！ということです。

（３）上記の式より
８Ｃ３＝８Ｐ３／３！
　　　＝（８！／５！）／３！
　　　＝８！／（５！×３！）
ということです。

ダラダラと長文になってしまいましたが、多少でも理解していただけると幸いです。

お礼

ご回答ありがとうございます。「引いていくごとに中身が減っていく」。そうでした！！今少し記憶が戻ってまいりました。わかりやすく教えていただきありがとうございます。

回答No.2

さゆみ（@sayumi0570）

８Ｃ３は　　８個から３個を選ぶ場合の数
　　　○　○　○　○　○　○　○　○
↑　と→　　上に行くか横に行くか　で↑３こ　　→５こを並べるんですけど
8この丸の内↑３個が決まれば決まり
どちらかが決まればそれで並び方は決まるので

↑３この場所を決める　→５こをどこに入れるか決める
どっちでも出来ます

８Ｃ３＝８Ｃ５

８Ｃ３が　　８！÷（３！×５！）となるのはこれは公式なので
これをコンビネーションの記号を使うという事です

お礼

再びのご回答ありがとうございます。

回答No.1

さゆみ（@sayumi0570）

縦３本　横５本の→↓　矢印を並べると考えると

並び方は全部違う物と考えると８！　とおり

だけど　３個と　　５個は同じなので　３！とおり　　５！とおりでわる

お礼

ご回答ありがとうございます。