角度は求まるのでしょうか？

質問

三角形の図形の角度を求める問題です。

△ＡＢＣにおいて、辺ＡＢ上に点Ｄ、辺ＡＣ上に点Ｅをおき、
∠Ａ＝s、∠ＡＢＥ＝ｔ、∠ＣＢＥ＝u、∠ＢＣＤ＝x、∠ＡＣＤ＝yとする。
∠ＥＤＣ＝α、∠ＤＥＢ＝βとするとき、
α,βを、s,t,u,x,yを用いて表すことができるか？

http://www.geocities.co.jp/CollegeLife/2898/sankaku.gif
↑絵はこちらにあります。

α＋β＝u+x　は簡単に出るのですが、その先がどうにもなりません。
s,t,u,x,yがある特殊な角度（関係）であれば、その角度から求めることはできるのですが、一般にはどうなのでしょう？

暇なときで構いませんので、ご存知の方がいらしたらよろしくお願いします。

回答No.1

taropoo · ベストアンサー

一般に△ＡＢＣにおいて、各頂点の対辺の長さをa,b,cとおくと、
Ｃから辺ＡＢにおろした垂線の長さは
　　　　ｂsinα＝ａsinβ　　　　∴ｂ＝ａsinβ／sinα　…(1)
また底辺に関して
　　　　ｂcosα＋ａcosβ＝ｃ …(2)
(1)を(2)に代入して整理すると
　　　　ａ＝ｃsinα／sin（α＋β）　…(3)

この(3)を駆使して行きます。

まずＢＣ＝１としてよいです。
△ＢＣＤにおいて(3)より
　　　　　　　　　　sinｘ
　　　　ＢＤ＝－－－－－－－－－－　…(4)
　　　　　　　　sin（ｘ＋ｔ＋ｕ）

　　　　　　　　　sin（ｔ＋ｕ）
　　　　ＣＤ＝－－－－－－－－－－　…(5)
　　　　　　　　sin（ｘ＋ｔ＋ｕ）

同様に△ＣＤＥにおいて(3)より
　　　　　　　　　sin（ｘ＋ｙ）
　　　　ＢＥ＝－－－－－－－－－－　…(6)
　　　　　　　　sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）

　　　　　　　　　　　sinｕ
　　　　ＣＤ＝－－－－－－－－－－　…(7)
　　　　　　　　sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）

これを△ＣＤＥに当てはめると
　　　　　　　　ＣＤsinα
　　　　ＣＥ＝－－－－－－－－　…(8)
　　　　　　　　sin（α＋ｙ）
よって
　　　　　　　sinｕ　　　　　　　　　　sin（ｔ＋ｕ）　　　　sinα
　　　　－－－－－－－－－－　＝　－－－－－－－－－－　－－－－－－－－　
　　　　　sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）　　　　　sin（ｘ＋ｔ＋ｕ）　　sin（α＋ｙ）

　　　　sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）（sinｙsinα＋cosｙcosα）＝sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）sin（ｔ＋ｕ）sinα

　　　　sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）cosｙcosα＝｛sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）sinｙ－sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）sin（ｔ＋ｕ）｝sinα

　　　　　　　　sinα　　　　　　　　　　　sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）cosｙ
　　　　tanα＝－－－－　＝　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　cosα　　　　　sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）sinｙ－sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）sin（ｔ＋ｕ）

ゆえに
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）cosｙ
　　　　α＝Arctan(tanα)　＝　Arctan　－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　sinｕsin（ｘ＋ｔ＋ｕ）sinｙ－sin（ｘ＋ｙ＋ｕ）sin（ｔ＋ｕ）
βについては省略します。

要は中学生レベルの数学では扱えない問題と言う事ですね。
特殊な角度であれば求められると言うのはそこに原因があるんだと思います。

お礼

早速のご回答、ありがとうございました。

逆三角関数が出てくるなんて、全然想像していませんでした。
懇切丁寧な途中式も付けてくださって、ありがとうございます。
よく分かりました。