【緊急！】一見簡単な二等辺三角形内の角度の問題

質問

できることなら、明日木曜朝までに、解決したいと思っています。急ぎ、お助けを！どうぞよろしくお願いいたします。計算しても角度が決まらないのが不思議です。

（図を描けませんが、図示すれば大丈夫と思います）

∠A＝20°，AB＝ACである二等辺三角形ABCの辺AB上に∠BCD＝30°となる点Dをとり，辺AC上に∠CBE＝60°となる点Eをとる。このとき，∠BEDの大きさを求めよ。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

相当数学を知っている人の作った問題ですね。専門はFFTかな。

CDとBEの交点をFとする。角度を計算すると

∠FCB=30°、∠FBC=60°、よって∠CFB=90°、CDとBEは直交し、Fの周りの4つの三角形は

いずれも直角三角形、∠FBD=20°、∠FDB=70°、∠FCE=50°、∠FEC=40°

⊿FBCは正三角形を2分割した三角形で、BC=2とするとFB=1、FC=√3

FE=FCtan50°=√3tan50°、FD=FBtan20°＝tan20°

tan∠BED=FE/FD=tan20°/(√3tan50°)=(1/√3)*tan20°/tan50°

1/√3=tan30°=1/tan60°、tan20°＝1/tan70°

ゆえに

tan∠BED＝1/(tan50°*tan60°*tan70°）

urlの「特定の角度に関する公式」より

tan50°*tan60°*tan70°=tan80°＝1/tan10°

ゆえに

tan∠BED＝tan10°

∠BEDは鋭角なので

∠BED＝10°

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%89%E8%A7%92%E9%96%A2%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%85%AC%E5%BC%8F%E3%81%AE%E4%B8%80%E8%A6%A7

お礼

arctanの復習をしていたところでした。ごていねいに、URLまで添えていただき、本当にありがとうございました。途中で、横道に反れてしまっていたので、完全解答が大助かりです。

回答No.1

okormazd

「計算しても角度が決まらないのが不思議」
「計算すれば角度が決まるのが不思議」だが、これでは不満かもね。

atan(tan20°/(√(3)tan 50゜))=10°

お礼

早々に回答していただき、ありがとうございました。やはり、角だけで攻めることなく、直角や辺の長さも絡ませるのも手なのですね。それに、これを機会に「ラングレーの問題」も知ることができました。補助線を使ったりして、別の解法も考えてみます。