組合せと素数の問題

質問

以下の問題が解けなくて困っています。よろしくお願いします。

問）pを7以上の素数として、C(2p, p) - 2 は p^3 で割り切れる。これを証明せよ。

例）p=7ならC(14,7)-2=3430は7^3=343で割り切れる。

回答No.2

tmpname · ベストアンサー

C(2p,p) = 2 * [(p+1)(p+2) …　(p+p+1)] / (p-1)!と書いておくと、題意は
(p+1)(p+2)… (p+p+1) ≡ (p-1)! (mod p^3)を示せばよいことになります。

ここで、多項式f(x) = (x+1)(x+2)… (x+p-1)を考えると、
f(x) = s[n,1] + s[n,2] x + s[n,3] x^2 + x^3g(x)と書けます。ここでg(x)は何かの多項式で、s[p,q]は「第1種スターリング数」です。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B9%E3%82%BF%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%83%B3%E3%82%B0%E6%95%B0
s[n,1] = (n-1)!です。
そこで、f(x)にx=pと代入し、mod p^3での結果を考えると、結局s[n,2] p + s[n,3] p^2 ≡ 0 (mod p^3)を示せばよいことになります。

そこで、
A. p^2 | s[n,2]
B. p | s[n,3]
の２つが示されれば、証明で来たことになります。

まずBは比較的易しく、s[n,3] = (p-1)! Σ(1≦m<n≦p-1) (1/mn)ですが、mod pでの結果を考えるとちょっと考えてΣ(1≦m<n≦p-1) (1/mn) ≡ 0(mod p)は示せますから、 Bは大丈夫。
次にAですが、これはs[n,2] = (p-1)!Σ(1≦n≦p-1) (1/n)ですが、≡ 0(mod p)を示すのは簡単ですが、今は≡ 0(mod p^2)を示す必要があります。これはWolstenholmeの定理を使うと直ちに示せます。http://en.wikipedia.org/wiki/Wolstenholme%27s_theorem　

以上で終わりです。

お礼

わかりやすい説明ありがとうございました。
2*(p+1)(p+2)*...*(p+p-1)への変形と(p-1)!が展開項に出てくるところまでは気づいたのですが、
その先に進めず止まっておりました。
Wolstenholmeの定理も証明を見て納得いたしました。

回答No.4

Subaru_Hasegawa

失礼。試行錯誤がない投稿はカンニングと同列に考えていたからね。

回答No.3

tmpname

Wolstenholmeの定理については、この辺が読みやすいのかも
http://note.chiebukuro.yahoo.co.jp/detail/n4295

回答No.1

Subaru_Hasegawa

因数分解して式を整理するか、もしくは数学的帰納法を用いるかですな。
ところで中学生か高校生かも分からなければ、回答のしようがない。

あと、少しは自分で考えましょう。試行錯誤がなければカンニングにしか
見えませんから。

補足

失礼いたしました。
理数系で修士号をとっている社会人です。
かなり美しい結果なので簡単に証明できると思いきや、
試行錯誤を繰り返しても証明できなかったのでこちらで問い合わさせていただきました。