0^0=0 ならば 0^-n=0 ですか？

質問

指数関数として 0^n を捉えます。

指数法則により
　0^0*0^0=0^0
なので、0^0 は 0 または 1 となります。

もし 0^0=0 とするならば
　0^-1*0^1=0^0
の式により、0^-1=0 であっても指数法則に合致します。
　0^-n=(0^-1)^n
の関係により、0^-n=0 となります。ただし n>0 です。

この結論に問題はあるでしょうか？

回答No.7

ta20000005 · ベストアンサー

何の問題もありません。指数法則a^(x+y)=(a^x)(a^y)だけを前提とした場合は0^0=0とすること自体は矛盾が生じるわけではなくて、指数法則を満たすように複素数zについて0^z=0となるように拡張できることが知られています。
なぜこの定義が嫌われるかというと、たとえば二項定理
(x+y)^n=Σ[r=0,n]nCr(x^(n-r))(y^r)
でy=0とおくと
x^n
=Σ[r=0,n]nCr(x^(n-r))(0^r)
=nC0(x^n)(0^0)
=0
となってしまうなど、様々な公式が成り立たなくなる場合が出てくるためです。それらは0^0が未定義でも成り立たないわけですが、0^0=1とすれば成り立ちます。0^0を1にしたいと考える人が多いのはそれが理由です。もちろん、だからと言って0^0=1も証明されるわけでもありませんが。

お礼

> 何の問題もありません。
> 指数法則を満たすように複素数zについて0^z=0となるように拡張できることが知られています。

やはり、そうですよね。
数の集合 {0} で考えれば、0 は単位元であり、0 の逆元も 0 となるのですから。

> 様々な公式が成り立たなくなる場合が出てくるためです。

式の破綻は、0^0 を「0 を 0 回掛ける」という解釈でも現れます。
つまり、0 を掛けても掛けなくても答は 0 と言ってるようなものですからね。

> 0^0を1にしたいと考える人が多いのはそれが理由です。
> だからと言って0^0=1も証明されるわけでもありませんが。

証明とは「（公理を含む）仮定を元に別の仮定（命題）を導くこと」ですから、何を仮定するかによりますね。
たとえば、x^y の逆数は x^-y という仮定からなら、0^0=1 は証明可能です。
0^0 が未定義なのは、それを信じない人が多くいるからでしょう。

回答ありがとうございました。

回答No.10

178-tall

>> 前提が真なら、帰結は真。

>これは、推論に間違いはないという意味でしょうか？

そう、思ってます。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.9

LongSecret

あ、投稿タイミングが近かったようで、あれでしたが
ほほ～
如何なる手を使っても、現行定義では破たんはしないようになっている、ということなのですか。（ta20000005さん）
そうであれば、参考になりました。

回答No.8

LongSecret

なるほど、あくまで未定義部分を浸食しないかぎりは否定は出来ないということ…になるのかな？

ただ、0^0=0 ならば 0^-n=0 ただし n>0
というのは、直感的にはどっかで破たんしそう（してそう？）な危うさを感じなくもないです
（あくまで直感なので全くの気のせいかもしれませんが）

wikipedia（の日本語ページ）には0の0乗はこう書いてありますね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97

数学は自然科学を解明する際の利便性を追求して発展してきたと思うので、ローカルルールとして0^0=0とすることで遥かに都合がよくなる状況なのであれば、その分野ではその方が良いのかもしれません。
（未定義でも1でもなく0^0=0の方が遥かに都合が良い…というのはどういう状況なのかちょっと想像できないですが）

お礼

> ローカルルールとして0^0=0とすることで遥かに都合がよくなる状況なのであれば、その分野ではその方が良いのかもしれません。

私は未だにその例を知りません。
今回の例を含め、不都合な状況はよく目にするのですが。

回答ありがとうございました。

回答No.6

LongSecret

No.5
修正ミス

x^-1 = 1 * 1/x　( 1に1/xを２回掛けている )
↓
x^-2 = 1 * 1/x * 1/x　( 1に1/xを２回掛けている )

です。

回答No.5

LongSecret

指数法則というのは負の指数の性質をこう決めると演算上便利だからこう決めたという話だと思うので
現状とは違う数学の世界を作ることも不可能ではないとは思いますが

とりあえず、現状では、tadysさんのおっしゃる通り

＞通常、a^-n （n>0) は 1/(a^n) で定義されます。
というはずなので…

とりあえず、xが非0の場合だと…ですが
xの0乗が1というのは、指数法則的に
x^1 = x
x^(-1) = 1/x
x^1 * x^(-1) = x^0 = x * 1/x = 1
∴x^0 = 1
ということが言えると思います。

これだとx=0のとき0/0になることになりますから、「x^-1、つまり1/0が定義される数なら」0^0は未定義と考えてもよさそうですが、残念ながら1/0は未定義扱いのはずです。

なので別の角度から見ると

x^2 = 1 * x * x ( 1にxを２回掛けている )
x^-1 = 1 * 1/x　( 1に1/xを２回掛けている )

x^0 = 1 ( 1にxを0回掛けている、または1/xを0回掛けている )

従って

x^nは１にxをn回掛けた（nが負なら1/xを-n回掛けた)数値に等しいと言えると解釈出来ると思います。
そう考えた場合は、0^0=1に自然になります。
つまり、0^0=0とすると、なぜ0だけ特別扱いするのかの理由が欲しい、ということです。

お礼

> 現状とは違う数学の世界を作ることも不可能ではないとは思いますが

現状に沿った数学の話をしているつもりです。
なぜなら、0^0 が未定義なのは、それが 1 なのか 0 なのか決められないのが主な理由です。
0 であることを否定するならば、それは 1 と定義する十分な理由になります。

> x^1 = x
> x^(-1) = 1/x

１つ目の式は指数関数の定義の通りですが、２つ目はむしろ x^0=1 を前提とした式です。
正確には x^(-1) = 1/x と x^0=1 の真偽は同じと言うべきでしょうか。
よって、x^0=0 とするならば、根拠もなく x^-1 を x の逆数と言うべきではありません。

また同様に、x^n を x を n 回掛けているという解釈も
　a * x^0
を a に x を 0 回掛けている（つまり x を掛けていない）と解釈すると、x^0 は直ちに 1 となりますが、それは 0^0 を未定義とする現状の数学とは相容れない世界となります。

> つまり、0^0=0とすると、なぜ0だけ特別扱いするのかの理由が欲しい、ということです。

x が 0 以外であれば x^0=1 とされていますから、x^0=0 と置けるのは x が 0 の時だけです。
その場合にどういう結論になるかが今回の質問であり、他の値は選びようがありません。

回答ありがとうございました。

回答No.4

178-tall

>もし 0^0=0 とするならば
>　0^-1*0^1=0^0
>の式により、0^-1=0 であっても指数法則に合致します。
>　0^-n=(0^-1)^n
>の関係により、0^-n=0 となります。ただし n>0 です。

面白い論理的命題です。

前提が偽なら、帰結が何であっても真。
前提が真なら、帰結は真。

「前提は真か偽か？」は別問題なのでしょうが…。

お礼

> 前提が偽なら、帰結が何であっても真。

0^0=0 が偽ならば、まさにあなたの心配は当りですね。
では、それを証明してください。

私はそれが分からないからこそ、それを真だと仮定してどんな結論が出るか考えてるのです。
もしその結論が偽ならば、前提も偽となるでしょう？

> 前提が真なら、帰結は真。

これは、推論に間違いはないという意味でしょうか？

回答ありがとうございました。

回答No.3

tadys

＞0^0 は 0 または 1 となります。
0^0 を0 または 1 とすれば、それは二つの値を持つ事になり、二つの値を持つ数を発明する必要が有ります。
その場合、どの様な場合にどちらの値を持つかを決める方法が必要になりますが、それはそれで問題が残ります。
また、0＾0から出発して値を増減させる場合にどちらから出発するかについて合理的な説明が出来なければなりません。
という訳で、通常の解釈では0＾0は定義できないとするか、０とするか１とするかのどちらかを選ぶ必要が有ります。

＞の式により、0^-1=0 であっても指数法則に合致します。
これは無理があるでしょう。
通常、a^-n （n>0) は 1/(a^n) で定義されます。
a^-n が何らかの値を持つとすれば 1/0 が値を持つ事になりますが、これは通常の数学の定義から外れます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%BC%E3%83%AD%E9%99%A4%E7%AE%97#cite_note-1

お礼

> 0^0 を0 または 1 とすれば、それは二つの値を持つ事になり、二つの値を持つ数を発明する必要が有ります。

私は「x^2=1 なら x=1 または x=-1」と同じ意味で使っています。これが発明に当りますか？

> また、0＾0から出発して値を増減させる場合にどちらから出発するかについて合理的な説明が出来なければなりません。

私は仮定の話として「もし 0^0=0 とするならば」としただけですから、それを説明する必要があるとは思いません。
x=2 の場合に x+3 が何になるか考える時、x=2 に対する合理的な説明が必要ですか？

0^0 は通常未定義とされてますが、ローカルルールとしてなら 1 と定義しても良いことになっています。
0 と定義することに問題があるというのなら、それは 0^0=1 と主張してるのと変わらないかもしれませんね。

> 通常、a^-n （n>0) は 1/(a^n) で定義されます。

それは指数関数の定義のどこに含まれていますか？
指数法則により要請されるのは
　a^-n * a^n = a^0
という関係式のみです。1 などという数値はどこにも出て来ません。
あなたは a^-n が a^n の逆数だという思い込みをしているのです。

回答ありがとうございました。

回答No.2

LongSecret

数学の取り決めとして0^0=0よりかは0^0=1の方がしっくりくる気がします。

第5回　0の0乗は何になるのか（康平 PAGE）
http://homepage3.nifty.com/kouhei1016page/Math/Math005.HTM

0除算は数学的に未定義だったと思うので、0^-nは未定義…のはずと思います。

お礼

> 数学の取り決めとして0^0=0よりかは0^0=1の方がしっくりくる気がします。

私は何も 0^0=0 と決めようとしているのではありません。
そう決めた場合に 0^-n がどういう値になるかを考えているのです。

ちなみに、紹介されたWEBでは、0^0=1 を実数を定義域として証明しているものはなさそうです。

> 0除算は数学的に未定義だったと思うので、0^-nは未定義…のはずと思います。

0除算と0^-nに何か関係があるのですか？
そう思うのなら、その理由を書いてください。

回答ありがとうございました。

回答No.1

asuncion

＞　0^0*0^0=0^0
＞なので、0^0 は 0 または 1 となります。

この前提は、そもそも正しいでしょうか。
0^0は定義できないように思えます。

一方、n>0のとき、0^n=0ですから、
0^(-n)=1/0となってしまい、
こちらは「定義できない」と解釈するのが妥当なのか
「無限大」と解釈するのが妥当なのかよくわかりません。

お礼

> この前提は、そもそも正しいでしょうか。
> 0^0は定義できないように思えます。

指数法則を使って 0^0 を考えようということなので、一般常識の「0^0 は未定義」とは別です。
もし指数法則と合致する 0^0 という値が別に存在するというのなら、言ってください。

> 一方、n>0のとき、0^n=0ですから、
> 0^(-n)=1/0となってしまい、

0^-n は０の逆数ではありません。ただ単に指数法則を満たす値です。
よって、「定義できない」なんて制限は存在しません。

回答ありがとうございました。