磁気量と電流の強さの関係

質問

Wbという単位がクーロンの法則から決定されるわけではなく、別の実験によって
決められていることを知りました。（4つの磁石を用いるそうですが、どのサイトに
書いてあるかはわかりませんでした）

そこで自分なりに考えてみました。

m[Wb]の磁極からr[m]離れた磁場の強さをHとすると、電場と同じように考えて
H＝(1/4πμ)・m/r^2…(1)

一方I[A]の電流が流れる導線からr[m]離れた磁場の強さはH＝I/2πr…(2)

(1)＝(2)のとき、(1/4πμ)・m/r^2＝I/2πr
となり、Iについて解くと
I＝m/2μr・・・(3)
となります。ここでr=1,m=1　とすれば1[Wb]の磁極が1メートル先に作る磁場の強さは
1/2μ[A]の電流が1メートル先に作る磁場の強さと等しいことになります。
これで磁極の強さが一応アンペアに換算することができるかと思います。
また、磁極の強さと電流は、距離が一定であれば比例関係にあることが
わかります。

ところで、2つの平行電流が及ぼし合う力の式は、実験により次の式であることが
確認できます。
F=μII'L/2πr・・・(4)

(3)式より
I＝m/2μr・・・(5)
I'＝m'/2μr・・・(6)　として、(5)(6)を(4)式に代入すると

F＝(L/8μπ)・mm'/r^2
となり、一応磁気に関するクーロンの法則が導けるかと思いきや、クーロンの法則の
式はF＝(1/4μπ)・mm'/r^2
であるので、違ってしまいます。何か計算に問題があるでしょうか。
L＝2となれば、式が一致するのですが・・・・。

どなたか添削していただけないでしょうか。
よろしくお願いいたします。

回答No.4

noname#221368 · ベストアンサー

#1，2です。

　すいません、またまたやってました。

＞やるとすれば、こうでしょう。大きさＨの磁場の中に、（あったとして）磁荷Ｍが置かれたとき、磁荷Ｍの受ける力Ｆは、

　　Ｆ＝ＨＭ　　　（3)

です。同様な式は電場と電荷でも前提とされます（実験事実として）。とすれば(2)より、2π{A}の直線電流から1[m]の距離に磁荷Ｍをおいたとき（無限に長い棒磁石のどっちかの極でかまいません）、(1)より（←間違い！）、

　　Ｆ＝1/(4πμ)[N]

の力を受ける磁荷Ｍが、1[Wb]です。それが「[Wb]原器」です。・・・

　ではなく、

　　Ｆ＝1・Ｍ＝1[N]　　　（3')

の力を受ける磁荷Ｍが、1[Wb]です。それが「[Wb]原器」です。「当然、Ｍの数値は「1」です」。

　ところが、このＭ＝1[Wb]を、#2の(1)に用いると、

　　Hm＝1/(4πμ)・1/1^2＝1/(4πμ)　＝10^7/(16π^2)＝6.333×10^4[N/Wb]

となるので、「とても不自然です」。だからこそ、

　　・問題の所在は、(3)の定義ではないんです。

　　・μ＝4π×10^(-7)[N/A^2]と決めた理由です（単位まで違ってました、すいません）。

　・・・重ね重ね失礼しました。

　できれば、混乱しないで下さい。

お礼

ありがとうございました。自分の考え方の間違いがよくわかりました。
透磁率の決め方について考えてみました。
Lメートルの平行導線（間隔はr）に電流I,I'を流すと、電流の積に比例しrに反比例
することが実験によって確かめられます。比例定数をkとすれば次の式が成り立ちます。
F=k(II'L/r)・・・(1)
1[A]の定義はL=r=1のとき、F=2×10^-7[N]であると決めたので、
k=2×10^-7となります。
(1)を式変形すると
F=2πkLI(I'/2πr)・・・(2)
ここで、H=(I'/2πr)とし、自由電子の単位面積当たりの個数をn、自由電子が受ける
力をf、導線の断面積をSとし、公式I=enSvを用いて、(2)は
fnSL＝2πkL・enSv・H　　fについてとくと
f=ev・2πkH
これはローレンツ力でありますが、式を簡単にするためにB(磁束密度)=2πkHとして
決めてしまうと都合が良かったのではないでしょうか。
電束密度の定義式と同様の式の形をとるためには、B=μHですから、
これにより、μ＝2πk＝2π×2×10^-7＝4π×10^-7となります。
自分で納得いくように考えた結果、今のところこのように理解しております。

さて、ここからクーロンの法則F=(1/4πμ)mm'/r^2を説明できなければいけませんが、
他の質問サイトで聞いた結果、コイルを使った電磁石で、1[Wb]、2[Wb]、3[Wb]・・・
の磁石を作ることができるそうです。なるほど磁場は[A/m]で定義したわけですから
当然電磁石から考えるは当然だと思いました。
L[H]のコイルを用いると、
コイルの中心部の磁束はφ[Wb]＝L[H]I[A]
コイルの端では0.5φ＝0.5LI[Wb]　（参考書に書いてあったので）
となり、一応原器のようなものが作れることになります。
わかったのはここまでで、ここからF=(1/4πμ)mm'/r^2を導くのは
考え中です。

とにかくいろいろとありがとうございました。

回答No.3

noname#221368

すいません、#2です。

　μ＝4π×10^(-7)[A/m]でした。訂正します・・・。

回答No.2

noname#221368

計算には問題ないんですが、2つの点でまずいです。

　まず、1[Wb]の磁荷が1[m]の距離に作る磁場Ｈmと、1{A}の直線電流が1[m]の距離に作る磁場Ｈiは違います。それはすぐに、検算できます。

　　Hm＝1/(4πμ)・1/1^2＝1/(4πμ)　　　（Ｈ1＝1/(4πμ)・m/r^2）　　　(1)

　　Hi＝1/(2π・1)＝1/(2π)　　（Ｈi＝I/(2πr)　　　(2)

だからです。1/(2π)＝1/(4πμ)、すなわちμ＝1/2（単位省略）というちょうど良い値を持たないと、(1)＝(2)は成り立ちません。これが#1さんの仰っている事です。

　でもですね。透磁率μの値は、人間がどういう単位設定を選ぶかで、いくらでも自由になる部分でもあります。つまりμ＝1/2になるように、俺は1[Wb]の磁荷原器を具体的に設定したのだ（するつもりなのだ）と宣言してしまえば、ここまでは純粋に論理的に見れば、問題はないです。それは1[Wb]の現実の絶対量を、物質として（たぶん永久磁石の強さとして）具体的に選ぶのと同じです。唯一の問題は、現在の標準単位系であるSIと合わない、という一点だけです。

　次に、

＞F＝(L/8μπ)・mm'/r^2

は、論理的にまずいです。何故なら導線の長さLは、人間の都合でいくらでも変更可能だからです。電流と磁荷の換算式が目的であるならば、Ｌが残ってしまった時点で、あなたの考えは失敗です。これは、たとえμ＝1/2に決めたとしても、r＝1で(1)＝(2)が成り立っても、その他のrでは(1)≠(2)だという、単純な事実を表しています。

　やるとすれば、こうでしょう。大きさＨの磁場の中に、（あったとして）磁荷Ｍが置かれたとき、磁荷Ｍの受ける力Ｆは、

　　Ｆ＝ＨＭ　　　（3)

です。同様な式は電場と電荷でも前提とされます（実験事実として）。とすれば(2)より、2π{A}の直線電流から1[m]の距離に磁荷Ｍをおいたとき（無限に長い棒磁石のどっちかの極でかまいません）、(1)より、

　　Ｆ＝1/(4πμ)[N]

の力を受ける磁荷Ｍが、1[Wb]です。それが「[Wb]原器」です。

　1/(4πμ)って、

　　1/(4πμ)＝10^7/(16π^2)＝6.333×10^4[N]

なんですよ。どっかで見た数値ですよね？。μ＝10^7/(4π)って、どうやって決めたんでしょうね？。

　つまり問題の所在は、ここではなんです。μ＝10^7/(4π)[A/m]と決めた理由が、つまり電磁気の単位設定をどう扱うかが、電流と磁荷の換算問題の要になります。それはとてもこってりした話になるので、ここでは省略しますが、電荷の1[C]の絶対量は（1[C]原器は）、どう決めるべきか？辺りから（暇があれば）考えてみてはどうでしょうか？。

　1[C]は、電荷に対するクーロン法則から決めれそうですが、そこにも誘電率kという比例定数が入って来ます。誘電率kは、どう決めれば妥当なんでしょうね？。そして磁場は電流から発生し、電流の単位は[A]＝[C/s]という「組み立て単位」で、「[s]原器（秒原器）」は力学理論から、原子時計という形で既に確立されています。さらに、電流間にはその磁気作用の効果として、ビオ・サバールの法則、

＞F=μII'L/2πr・・・(4)

も成り立ちます。これら辺りが手掛かりになりますが、考え出すとすぐに、非常にこってりした問題だとわかります。じっさい現役の物理学科の学生でさえ悩みますが、実直に考えれば、状況のようすは見えてきます・・・(^^；)。

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

うーんかなり無茶では？

かたや線状の電流の円形の磁場とかたや点状の磁荷の放射状の磁場が
ある点で同じ大きさになるからといって、線状の電流を点状の磁荷に
換算するのはどう考えたって無理があります。

線状の電流は点状の磁荷とはまるで違うものだというところから
出発しましょう。

お礼

確かにそうですね。やはり無理がありました。
ありがとうございました。