二つの導線に走る電流が作る磁場

質問

こんにちは、続けての質問となり申し訳ないのですが、どうか宜しくお願いします。

図の問題に出会いました。
二つの導線があります。ひとつは通常の一本導線で（導線１）、もうひとつは導線１を囲むような形状の導線２です。おそらく同軸ケーブルと呼ばれる導線のことではないかと思います。問題は、この二つの導線の間に位置する点での磁場の強さ、方向を求めるというものです。

模範解答では、導線2での電流I2は考慮に入れず、導線1での電流I1だけを使って、アンペールの法則から磁場を求めています。

なぜ、導線2の電流は考慮に入れなくても良いのでしょうか。

導線2の構造上な対称性から、導線2からの正味の磁場はゼロとなりそうですが、それを証明する計算式を立てられずにおります。導線1の中心を原点として、P (X, Y)とおいて、導線2の極小部分が作り出すPでの磁場dBをビオ・サバールの法則から求め、これを積分するという式になりそうなのですが、この積分式をどう立てて良いのか分からずにおります。積分式の立て方、また他の解法の可能性も含めて、どうかご教示頂けると幸いです。よろしくお願いします。

回答No.1

FT56F001 · ベストアンサー

外導体2の電流が作り出す磁界が導体の内側で0になることは，次のようにして確認できます。

まず，導体1の中心を原点として極座標(r,θ)をとり，導体2の半径をRとします。
導体2の上に微小区間dθを考えて，その電流をIdθ/(2π)とおきます。(Iは導体2の全電流)

磁界を調べる検査点としてx軸上の(x0,0)に点を取ります。微小区間と検査点の距離をrとすると
r^2=(Rcosθ－x0)^2+(Rsinθ)^2=R^2－2R*x0*cos(θ)+x0^2

さて，無限直線電流Iが作る磁界は大きさがH=I/(2πr)で，電流と検査点を結ぶ方向に垂直です。
よって，微小区間の電流Idθ/(2π)が検査点に作る磁界は，
大きさ{Idθ/(2π)}/(2πr)に，
単位ベクトル(x,y)=(-Rsinθ,Rcosθ-x0)/rを掛けた値となります。
よって，導体2全体からは
Hx=I/(4π^2)∫[θ=-π→π]I(Rsinθ)/(R^2－2R*x0*cos(θ)+x0^2)dθ
Hy=I/(4π^2)∫[θ=-π→π]I(Rcosθ-x0)/(R^2－2R*x0*cos(θ)+x0^2)dθ
となります。Hxは対称性から直ちに0とわかります。
Hyの方は，しばし計算しないと0とは分かりません。

あとは積分公式集をひっくり返すなどして，R>x0≧0のとき，
この積分が0となることを確かめてください。

お礼

ありがとう御座いました。お礼が遅くなりましてすみません