電界と電荷密度と静電ポテンシャルの関係

質問

電界中で荷電粒子の運動をシミュレーションするプログラムを作り、電界、電荷密度、静電ポテンシャルの値を時間毎に計算した結果を出力しグラフ(Y軸です)にしてみました。
X軸が空間メッシュ(格子点)なのですが(0～100mm)、その結果、電荷密度と静電ポテンシャルがまったく正反対のSin波になりました。これは、電荷密度と静電ポテンシャルは反比例すると考えていいのでしょうか？また、電界は-10～10(V/m)の間を行ったり来たりしていました。これは、どう解析したらよいのでしょうか？　どなたか教えてください。

回答No.1

siegmund · ベストアンサー

シミュレーションの中身はわかりませんが(補足されてもわからない可能性が大です)，

> 電荷密度と静電ポテンシャルがまったく正反対のSin波になりました。
> これは、電荷密度と静電ポテンシャルは反比例すると考えていいのでしょうか？

は説明がつきます．
「反比例」じゃなくて「符号が逆」のつもりですかね．

電界を E(ベクトル量)，電荷密度をρ(スカラー量)，静電ポテンシャルをφ(スカラー量)とします．
(1)　　div E = ρ/ε_0　　(div E は ∇・φ と書いてもよい)
(2)　　E = - grad φ　　　(gradφ は ∇φ と書いてもよい)
ですから，φとρの間には
(3)　　?φ = ∇^2 φ = -ρ/ε_0
の関係があります．
?はラプラシアン，∇はナブラ．
(3)はポアソン方程式です．

１次元版なら，(3)は
(4)　　d^2 φ / dx^2 = -ρ/ε_0
もし，
(5)　　ρ∝ sin(kx)
なら
(6)　　φ ∝ sin(kx)
になりますね．

あれ，符号が逆にならないですね．
う～ん，もしかしたら電子を想定して
(7)　　ρ = -e Z
の形ですか．
Z が電子密度．e (e>0) が素電荷．
これなら(5)のとき
(8)　　Z ∝ - sin(kx)
になりますね．

sin 型の変化をするのはシミュレーションで想定している条件の結果でしょう．

回答No.2

siegmund

siegmund です．

No.1 の回答，
違うコードで見るとラプラシアンが？に化けてしまうみたいです．
仕方がないので，△で代用して，

...........
ですから，φとρの間には
(3)　　△φ = ∇^2 φ = -ρ/ε_0
の関係があります．
△はラプラシアン，∇はナブラ．

と訂正します．

お礼

ご回答、有難うございました。