大学過去問です。

質問

芝浦工業大学の2001年の数学の過去問です。
原点Oを中心とする半径aの円に糸がまきつけられていて、糸の端は点A(a,0)にあり、反時計回りにほどける。
いま、糸をたわむことなくほどいていき、その糸と円の接点をRとし、角AOR=θ(0<θ<2π)とする。
更に、ほどかれた糸の端の座標をP(x,y)とする。
(1)xとyをθの関数で表せ。
(2)第１象限にあるPの軌跡と円および直線y=aで囲まれる部分の面積を求めよ。

自力で解こうとしましたが、結局分かりません。
解答お願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

ANo.3です。(2)を含めて再回答します。
この問題は、糸ではなくピアノ線のようなもので考えると理解
し易いと思います。
例えば、回転しない半径aの円筒に時計回りに巻き付け接着され
たピアノ線(先端はA(a,0)にある)を、先端から少しずつ剥がして
いく際にピアノ線の先端が描く軌跡・・・と考えて回答します。
(1)xとyをθの関数で表せ。
＞Rのx,y座標はR(acosθ,asinθ)、P(x,y)は接点Rの接線上Rから
2πa*(θ/2π)=aθ離れた位置にある。従ってRに対するPの相対
座標は、(aθsinθ,-aθcosθ)。よってPのx,y座標は
P(acosθ+aθsinθ,asinθ-aθcosθ)・・・答え
(2)第１象限にあるPの軌跡と円および直線y=aで囲まれる部分の面積を求めよ。
＞x=acosθ+aθsinθ、
dx=-asinθdθ+asinθdθ+aθcosθdθ=aθcosθdθ
θ=0の時のPはP(a,0)
θ=π/2の時のPはP(aπ/2,a)
0≦θ≦π/2のPの軌跡とx軸および直線x=aπ/2で囲まれる面積を
S、Pの軌跡をy=f(x)(a≦x≦aπ/2)とすると
S=∫[a→aπ/2]f(x)dx=∫[0→π/2](asinθ-aθcosθ)aθcosθdθ
=a^2∫[0→π/2]θsinθcosθdθ-a^2∫[0→π/2]θ^2cos^2θdθ
ここで1項、2項の不定積分を求めると
sin2θ=2sinθcosθから∫θsinθcosθdθ=(1/2)∫θsin2θdθ
2θ=αとおいてθ=α/2、dθ=(1/2)dαから
∫θsinθcosθdθ=(1/8)∫αsinαdα
ここで∫αsinαdαは部分積分により-αcosα+sinα+C(定数)
よって∫θsinθcosθdθ=(1/8)(-2θcos2θ+sin2θ+C)
cos2θ=2cos^2θ-1から∫θ^2cos^2θdθ
=(1/2)∫θ^2(1+cos2θ)dθ=(1/2)∫θ^2dθ+(1/2)∫θ^2cos2θdθ
2θ=αとおいてθ=α/2、dθ=(1/2)dαから
∫θ^2cos2θdθ=(1/8)∫α^2cosαdα
∫α^2cosαdα=α^2sinα-2∫αsinαdα
=(α^2-2)sinα+2αcosα+C(定数)、よって
∫θ^2cos2θdθ=(1/8){(4θ^2-2)sin2θ+4θcos2θ}+CC(定数)
よって、∫θ^2cos^2θdθ
=(1/6)θ^3+(1/16){(4θ^2-2)sin2θ+4θcos2θ}+CCC(定数)
以上からS/a^2={(1/8)(-2θcos2θ+sin2θ)}[0→π/2]
-[(1/6)θ^3+(1/16){(4θ^2-2)sin2θ+4θcos2θ}][0→π/2]
=π/4-π^3/48、従ってS=(π/4-π^3/48)a^2
求める面積は矩形の面積(a*aπ/2)-S-1/4円の面積(πa^2/4)
={(1/2)-(1/4)+π^2/48-1/4}πa^2=(π^3/48)a^2・・・答え
計算ミスご容赦！

回答No.3

yyssaa

ANo.1です。
円が回転しないなら、P(x,y)は以下のようになると思います。
＞Rのx,y座標はR(acosθ,asinθ)、P(x,y)は接点Rの接線上で、Rから
糸がほどかれる長さ=2πa*(θ/2π)=aθ離れた位置にあります。
従ってRに対するPの相対座標は、例えば0＜θ＜π/2で図を描くと
分かり易いですが、(aθsinθ,-aθcosθ)。
よってPのx,y座標はP(acosθ+aθsinθ,asinθ-aθcosθ)になります。

回答No.2

CC_T

スクロール圧縮機とか、ファン羽根とか、歯車のカーブなど、工業界ではたまに使われる曲線ですね。

答えは書けませんが、「インボリュート曲線」で検索してみれば、少なくとも１の回答には容易にたどり着けるでしょう。

２は０＜θ＜π/２　の間で線分ＯＰを積分して、残る三角形分を加算して、そこから基礎円分を引けばいいのかな？

補足

インボリュート曲線、ですか!!
分かりました検索してみます。
２番の問題もヒントを下さってありがとうございます。

回答No.1

yyssaa

θ一定でも糸はたわむことなくどんどんほどけるので、
Pは定まらないのでは？

補足

恐らく、θの範囲内で糸をほどいていって、どこかの点で固定した時を考えるんだと思います。
私もイマイチ理解しきれていないので、すいません。