数学

質問

二つの放物線
y＝x＾2…(1)
y＝－（x－a）＾2+b…(2)
が異なる二点で交わるとき、(1)、(2)で囲まれる図形の面積をa、bを用いて表せ。

途中で
－2∫β
　α（x－α）（x－β）dx

とあります。
－2はなんですか？

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

>－2はなんですか？

(1),(2)のグラフは、２交点の間では(2)のグラフが上側で(1)のグラフが下側になるので
面積を求める際の被積分関数は(2)-(1)から求めた

　f(x)＝-(x-a)^2+b -x^2＝-2x^2+2ax+b-a^2＝-2(x-α)(x-β) ...(☆）

となります。α、β(α＜β)を(1),(2)の異なる２つの交点のx座標です。

f(x)の式のxの２次の項の係数から来る「-2」です。

(1)と(2)のグラフで囲まれた領域の面積Sは(☆)のf(x)の式をα→βまで積分して求めるので
f(x)の区間[α→β]の積分で、f(x)のxの２次の係数「-2」が積分の前に括り出せる訳です。

　S=∫[α→β]　f(x)dx＝-2∫[α→β]（x－α)(x－β）dx

お礼

ありがとうございます(^^)