源氏も平氏ももとは「天皇」の子供を臣籍降下させた場合に与えた「姓」であることはご存じですね。
で、伊勢平氏、武田源氏、河内源氏などその本拠地によっていろいろと呼ばれるわけですが。この中で「平家」というのは、平安末期に武士政権を打ち立てた平清盛の一門（伊勢平氏）だけを特に指す言葉です。
当時は藤原摂関家とか寺社勢力とかいろいろな政治勢力（権門）がありましたので、朝廷に深く食い込みかつ軍事動員権まで手中にして有力な権門となったために「平家」と呼ばれるようになりました。藤原家も同じことです。
頼朝が征夷大将軍となったあと、平家の落人狩りをやりますが、対象はあくまでも伊勢平氏から生まれた平清盛の一門だけです。なので「平家」の落人狩りとか、「平家の隠れ里」も清盛一門だけに関係します。
平氏の一族すべてが頼朝の征伐対象となったわけではありません。すでに回答にあるように、北条政子の家系も平氏なんです。鎌倉幕府は頼朝の直径が三代で絶えてしまったあとは北条氏が執権として権勢をふるいますが、北条氏は平氏というのは皮肉なことです。
要は各地の武士勢力は、自分たちのリーダーは武士であってかつ元は臣籍降下した「貴種」であればよかったわけで、源氏でも平氏でもよかったのです。
清盛よりは頼朝の方が各地の武士勢力の要望・要求・実益ををよく反映できると思われたから頼朝・源氏が担がれただけと言い切っても無理はないと思います
しかし、結局平氏である北条氏が実権を握った鎌倉幕府は源氏である新田氏や足利氏に滅ぼされます。新田や足利は地名からとった苗字です。しかし姓は源氏です。
反乱が起きた理由は北条氏が「平氏」だったからではなく、北条政権に各地の武士勢力の利害調整能力が無くなり、北条氏をあえて統領としてたてる必要もなくなった、さらに後醍醐という「天皇」の政治力も強い影がありました
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しかし、その後も武士集団は権力を手放す気はさらさら無く、足利幕府、徳川幕府と武家政権が続いていきます。
苗字は地名に由来し、姓は「朝廷」から与えられるものです。藤原氏しかり、源氏しかり、平氏しかりです。
